Hur man löser system för ekvationer genom grafer

System med ekvationer kan hjälpa till att lösa verkliga frågor inom alla typer av områden, från kemi till företag till sport. Att lösa dem är inte bara viktigt för dina matematiska betyg; det kan spara mycket tid oavsett om du försöker sätta mål för ditt företag eller ditt idrottslag.

TL; DR (för lång; Läste inte)

För att lösa ett ekvationssystem genom att grafer, rita varje rad i samma koordinatplan och se var de skär varandra.

Tänk dig till exempel att du och din vän sätter upp ett limonadställ. Du bestämmer dig för att dela och erövra, så din vän går till kvarterets basketplan medan du bor på din familjs gathörn. I slutet av dagen samlar du dina pengar. Tillsammans har du tjänat 200 $, men din vän tjänade 50 $ mer än du. Hur mycket pengar tjänade var och en av er?

Eller tänk på basket: Skott utanför 3-punktslinjen är värda 3 poäng, korgar som görs inuti 3-punktslinjen är värda 2 poäng och frikast är bara värda 1 poäng. Din motståndare ligger 19 poäng före dig. Vilka kombinationer av korgar kan du göra för att komma ikapp?

Diagram är ett av de enklaste sätten att lösa ekvationssystem. Allt du behöver göra är att rita båda linjerna på samma koordinatplan och sedan se var de skär varandra.

Först måste du skriva ordproblemet som ett ekvationssystem. Tilldela okända variabler. Ring de pengar du tjänarYoch de pengar din vän tjänarF​.

Nu har du två typer av information: information om hur mycket pengar du tjänade tillsammans och information om hur pengarna du tjänade jämfört med de pengar som din vän tjänade. Var och en av dessa blir en ekvation.

För den första ekvationen, skriv:

eftersom dina pengar plus din väns pengar uppgår till $ 200.

Skriv sedan en ekvation för att beskriva jämförelsen mellan dina intäkter.

eftersom beloppet du gjorde är lika med 50 dollar mindre än vad din vän gjorde. Du kan också skriva denna ekvation somY​ + 50 = ​F, eftersom det du gjorde plus 50 dollar motsvarar vad din vän gjorde. Det här är olika sätt att skriva samma sak och kommer inte att ändra ditt slutliga svar.

Så ekvationssystemet ser ut så här:

Därefter måste du rita båda ekvationerna på samma koordinatplan. Rita ditt belopp,Y, påy-axel och din väns belopp,F, påx-ax (det spelar faktiskt ingen roll vilken som är så länge du märker dem korrekt). Du kan använda grafpapper och en penna, en handhållen grafkalkylator eller en online grafkalkylator.

Just nu är en ekvation i standardform och en i lutningsavlyssningsform. Det är inte ett problem, nödvändigtvis, men för konsekvensens skull, få båda ekvationerna i lutningsavlyssningsform.

Så för den första ekvationen, konvertera från standardform till lutningsavlyssningsform. Det betyder lösa förY; med andra ord, fåYav sig själv på vänster sida av likhetstecknet. Så subtraheraFfrån båda sidor:

Kom ihåg att i lutningsavlyssningsform är siffran framför F lutningen och konstanten är y-avlyssningen.

För att diagram den första ekvationen,Y​ = −​F+ 200, rita en punkt vid (0, 200) och använd sedan lutningen för att hitta fler poäng. Lutningen är −1, så gå ner en enhet och över en enhet och rita en punkt. Det skapar en punkt vid (1, 199), och om du upprepar processen från och med den punkten får du en annan punkt vid (2, 198). Dessa är små rörelser på en stor linje, så dra en punkt tillx-intercept för att se till att du har saker snyggt ritade på lång sikt. OmY= 0, dåFblir 200, så dra en poäng på (200, 0).

För att rita den andra ekvationen,Y​ = ​F- 50, använd y-skärningspunkten −50 för att rita den första punkten vid (0, −50). Eftersom lutningen är 1, börja vid (0, −50) och gå sedan upp en enhet och över en enhet. Det ger dig (1, −49). Upprepa processen från (1, −49) så får du en tredje punkt vid (2, −48). Återigen, för att se till att du gör saker snyggt över långa avstånd, dubbelkontrollera dig själv genom att också rita inx-genskjuta. NärY​ = 0, ​Fblir 50, så rita också en punkt på (50, 0). Rita en snygg linje som förbinder dessa punkter.

Ta en titt på din graf för att se var de två linjerna korsar varandra. Detta kommer att vara lösningen, eftersom lösningen på ett ekvationssystem är den punkt (eller punkter) som gör båda ekvationerna sanna. På ett diagram ser det ut som den punkt (eller punkter) där de två linjerna skär varandra.

I det här fallet korsas de två linjerna vid (125, 75). Så lösningen är att din vän (x-koordinat) gjorde $ 125 och du (deny-koordinat) gjorde $ 75.

Snabb logikkontroll: Är det vettigt? Tillsammans lägger de två värdena till 200 och 125 är 50 mer än 75. Låter bra.

I det här fallet var det exakt en punkt där de två linjerna korsade varandra. När du arbetar med ekvationssystem finns det tre möjliga resultat, och var och en ser olika ut i en graf.

• Om systemet har en lösning kommer linjerna att korsas vid en enda punkt, som de gjorde i exemplet.
• Om systemet inte har några lösningar kommer linjerna aldrig att korsas. De kommer att vara parallella, vilket i algebraiska termer betyder att de kommer att ha samma lutning.
• Systemet kan också ha oändliga lösningar, vilket innebär att dina "två" rader faktiskt är samma linje. Så de kommer att ha varje enskild punkt gemensamt, vilket är ett oändligt antal lösningar.