Du kan titta på inversa förhållanden i matematik på tre sätt. Det första sättet är att överväga operationer som avbryter varandra. Addition och subtraktion är de två mest uppenbara operationerna som beter sig på detta sätt.
Ett andra sätt att titta på inversa förhållanden är att överväga vilken typ av kurvor de producerar när du ritar förhållanden mellan två variabler. Om förhållandet mellan variablerna är direkt ökar den beroende variabeln när du ökar den oberoende variabeln och grafen kurvor mot ökande värden för båda variablerna. Men om förhållandet är ett omvänt, blir den beroende variabeln mindre när den oberoende ökar, och diagrammet kurvor mot mindre värden för den beroende variabeln.
Vissa par funktioner ger ett tredje exempel på omvända förhållanden. När du ritar in funktioner som är inversa av varandra på en x-y-axel, visas kurvorna som spegelbilder av varandra i förhållande till linjen x = y.
Invers matematiska operationer
Addition är det mest grundläggande av aritmetiska operationer, och det kommer med en ond tvilling - subtraktion - som kan ångra vad den gör. Låt oss säga att du börjar med 5 och att du lägger till 7. Du får 12, men om du subtraherar 7 sitter du kvar med de 5 som du började med. Det inversa av addition är subtraktion, och nettoresultatet av att addera och subtrahera samma antal motsvarar att lägga till 0.
Ett liknande omvänd förhållande finns mellan multiplikation och division. Nettoresultatet av att multiplicera och dela ett tal med samma faktor är att multiplicera numret med 1, vilket lämnar det oförändrat. Detta omvända förhållande är användbart när man förenklar komplexa algebraiska uttryck och löser ekvationer.
Ett annat par inversa matematiska operationer höjer ett tal till en exponent "n"och tarnnummerroten. Kvadratförhållandet är det enklaste att överväga. Om du kvadrerar 2 får du 4 och om du tar kvadratroten av 4 får du 2. Detta omvända förhållande är också användbart att komma ihåg när man löser komplexa ekvationer.
Funktioner kan vara inversa eller direkta
En funktion är en regel som ger ett och endast ett resultat för varje nummer du matar in. Uppsättningen med siffror du anger kallas funktionens domän och den uppsättning resultat som funktionen ger är intervallet. Om funktionen är direkt producerar en domänsekvens med positiva tal som blir större en intervalsekvens med siffror som också blir större.
f (x) = 2x + 2, f (x) = x ^ 2 \ text {och} f (x) = \ sqrt {x}
är alla direkta funktioner.
En omvänd funktion beter sig på ett annat sätt. När siffrorna i domänen blir större blir siffrorna i intervallet mindre.
f (x) = \ frac {1} {x}
är den enklaste formen av en invers funktion. När x blir större, f (x) kommer närmare och närmare 0. I grund och botten är varje funktion med inmatningsvariabeln i nämnaren för en bråk, och endast i nämnaren, en invers funktion. Andra exempel inkluderar
f (x) = \ frac {n} {x}
varnär vilket nummer som helst,
f (x) = \ frac {n} {\ sqrt {x}}
och
f (x) = \ frac {n} {x + w}
varwär ett valfritt heltal.
Två funktioner kan ha en omvänd relation till varandra
Ett tredje exempel på ett omvänt förhållande i matematik är ett par funktioner som är inversa till varandra. Antag som ett exempel att du matar in siffrorna 2, 3, 4 och 5 i funktionen
y = 2x + 1
Du får dessa poäng: (2,5), (3,7), (4,9) och (5,11). Detta är en rak linje med lutning 2 ochy-avlyssning 1.
Vänd nu siffrorna inom parenteserna för att skapa en ny funktion: (5,2), (7,3), (9,4) och (11,5). Området för den ursprungliga funktionen blir domänen för den nya och domänen för den ursprungliga funktionen blir området för den nya. Det är också en linje, men dess lutning är 1/2 och dessy-avlyssning är −1/2. Använda
y = mx + b
form av en linje, hittar du ekvationen för linjen som ska vara
y = \ frac {1} {2} (x - 1)
Detta är det inversa av den ursprungliga funktionen. Du kan lika gärna härleda det genom att bytaxochyi den ursprungliga funktionen och förenkla att fåyav sig själv till vänster om likhetstecknet.