Tricks för faktorering av kvadratiska ekvationer

Kvadratiska ekvationer är formler som kan skrivas i formen Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Ibland kan en kvadratisk ekvation förenklas genom att fakturera eller uttrycka ekvationen som en produkt av separata termer. Detta kan göra ekvationen enklare att lösa. Faktorer kan ibland vara svåra att identifiera, men det finns knep som kan göra processen enklare.

Undersök den kvadratiska ekvationen för att avgöra om det finns ett tal och / eller variabel som kan dela varje term i ekvationen. Tänk till exempel på ekvationen 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Det största antalet som kan delas jämnt i varje ekvation är 2, så 2 är den största gemensamma faktorn (GCF).

Dela varje term i ekvationen med GCF och multiplicera hela ekvationen med GCF. I exempelekvationen 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 skulle detta resultera i 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Förenkla uttrycket genom att slutföra uppdelningen i varje term. Det bör inte finnas några bråk i den slutliga ekvationen. I exemplet skulle detta resultera i 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Undersök den kvadratiska ekvationen för att se om den har formen Ax ^ 2 + 0x - C = 0, där A = y ^ 2 och C = z ^ 2. Om detta är fallet uttrycker den kvadratiska ekvationen skillnaden mellan två kvadrater. Till exempel, i ekvationen 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 och C = 9 = 3 ^ 2, så y = 2 och z = 3.

Faktorera ekvationen i formen (yx + z) (yx - z) = 0. I exempelekvationen är y = 2 och z = 3; därför är den fakturerade kvadratiska ekvationen (2x + 3) (2x - 3) = 0. Detta kommer alltid att vara den faktiska formen av en kvadratisk ekvation som är skillnaden i kvadrater.

Undersök den kvadratiska ekvationen för att se om den är en perfekt fyrkant. Om den kvadratiska ekvationen är en perfekt kvadrat kan den skrivas i formen y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, såsom ekvationen 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, som kan skrivas om som (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. I det här fallet är y = 2x och z = 3.

Kontrollera om termen 2yz är positiv. Om termen är positiv är faktorerna för den perfekta kvadratiska ekvationen alltid (y + z) (y + z). Till exempel, i ekvationen ovan är 12x positiv, därför är faktorerna (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Kontrollera om termen 2yz är negativ. Om termen är negativ är faktorerna alltid (y - z) (y - z). Till exempel, om ekvationen ovan hade termen -12x istället för 12x, skulle faktorerna vara (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Ställ in den fakturerade formen av kvadratisk ekvation genom att skriva (vx + w) (yx + z) = 0. Kom ihåg reglerna för FOIL-multiplikation (First, Outside, Inside, Last). Eftersom den första termen i den kvadratiske ekvationen är en Ax ^ 2, måste båda faktorerna i ekvationen inkludera ett x.

Lös för v och y genom att överväga alla faktorerna i A i den kvadratiske ekvationen. Om A = 1 är både v och y alltid 1. I exemplet ekvation x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, så v och y kan lösas i den fakturerade ekvationen för att få (1x + w) (1x + z) = 0.

Bestäm om w och z är positiva eller negativa. Följande regler gäller: C = positivt och B = positivt; båda faktorerna har ett + tecken C = positivt och B = negativt; båda faktorerna har a - tecken C = negativ och B = positiv; faktorn med det största värdet har ett + tecken C = negativ och B = negativ; faktorn med det största värdet har a - tecken I exempelekvationen från steg 2, B = -9 och C = +8, så båda faktorerna i ekvationen kommer att ha - tecken, och den faktorerade ekvationen kan skrivas som (1x - w) (1x - z) = 0.

Gör en lista över alla faktorer för C för att hitta värdena för w och z. I exemplet ovan är C = 8, så faktorerna är 1 och 8, 2 och 4, -1 och -8 och -2 och -4. Faktorerna måste lägga upp till B, vilket är -9 i exempelekvationen, så w = -1 och z = -8 (eller vice versa) och vår ekvation är helt beräknad som (1x - 1) (1x - 8) = 0.

Minska ekvationen till sin enklaste form med hjälp av metoden Greatest Common Factor som anges ovan. Till exempel, i ekvationen 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 är GCF 9, så ekvationen förenklas till 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Rita en ruta och dela den i en tabell med två rader och två kolumner. Sätt Ax ^ 2 i den förenklade ekvationen i rad 1, kolumn 1 och C i den förenklade ekvationen i rad 2, kolumn 2.

Multiplicera A med C och hitta alla produktens faktorer. I exemplet ovan är A = 1 och C = -10, så att produkten är (1) (- 10) = -10. Faktorerna -10 är -1 och 10, -2 och 5, 1 och -10 och 2 och -5.

Identifiera vilka av faktorerna i produkten AC som uppgår till B. I exemplet är B = 3. Faktorerna -10 som lägger till upp till 3 är -2 och 5.

Multiplicera var och en av de identifierade faktorerna med x. I exemplet ovan skulle detta resultera i -2x och 5x. Lägg dessa två nya termer i de två tomma utrymmena på diagrammet, så att tabellen ser ut så här:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Hitta GCF för varje rad och kolumn i rutan. I exemplet är CGF för den översta raden x och för den nedre raden är -2. GCF för den första kolumnen är x och för den andra kolumnen är 5.

Skriv den fakturerade ekvationen i form (w + v) (y + z) med hjälp av de faktorer som identifierats från diagramraderna för w och v, och de faktorer som identifierats från diagrammkolumnerna för y och z. Om ekvationen förenklades i steg 1, kom ihåg att inkludera ekvationens GCF i det fakturerade uttrycket. I fallet med exemplet kommer den faktorerade ekvationen att vara 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Se till att ekvationen är i standard kvadratisk form innan du börjar någon av de beskrivna metoderna.

Det är inte alltid lätt att identifiera en perfekt kvadrat eller kvadratskillnad. Om du snabbt kan se att den kvadratiska ekvationen som du försöker ta med finns i någon av dessa former, kan det vara till stor hjälp. Använd inte mycket tid på att försöka lista ut det, eftersom de andra metoderna kan vara snabbare.

Kontrollera alltid ditt arbete genom att multiplicera faktorerna med FOIL-metoden. Faktorerna bör alltid multipliceras tillbaka till den ursprungliga kvadratiska ekvationen.