En Taylor-serie är en numerisk metod för att representera en given funktion. Denna metod kan tillämpas inom många tekniska områden. I vissa fall, såsom värmeöverföring, resulterar differentiell analys i en ekvation som passar formen av en Taylor-serie. En Taylor-serie kan också representera en integral om integralen för den funktionen inte existerar analytiskt. Dessa representationer är inte exakta värden, men att beräkna fler termer i serien kommer att göra approximationen mer exakt.
Välj ett centrum för Taylor-serien. Detta nummer är godtyckligt, men det är en bra idé att välja ett centrum där det finns symmetri i funktionen eller där värdet för centrum förenklar problemets matematik. Om du beräknar Taylor-serierepresentationen av f (x) = sin (x) är ett bra centrum att använda a = 0.
Bestäm antalet termer du vill beräkna. Ju fler termer du använder, desto mer exakt blir din representation, men eftersom en Taylor-serie är en oändlig serie är det omöjligt att inkludera alla möjliga termer. Sin (x) -exemplet kommer att använda sex termer.
Beräkna de derivat du behöver för serien. För detta exempel måste du beräkna alla derivat upp till det sjätte derivatet. Eftersom Taylor-serien börjar på "n = 0" måste du inkludera "0: e" derivatet, som bara är den ursprungliga funktionen. 0: e derivat = sin (x) 1: a = cos (x) 2: a = -sin (x) 3: a = -cos (x) 4: a = sin (x) 5: a = cos (x) 6: e -sin (x)
Beräkna värdet för varje derivat i det centrum du valde. Dessa värden kommer att räknas för de första sex termerna i Taylor-serien. sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0 -cos (0) = -1 sin (0) = 0 cos (0) = 1 -sin (0) = 0
Använd derivatberäkningarna och mitt för att bestämma termerna i Taylor-serien. 1: a valperiod; n = 0; (0/0!) (X - 0) ^ 0 = 0/1 andra termen; n = 1; (1/1!) (X - 0) ^ 1 = x / 1! 3: e valperioden; n = 2; (0/2!) (X - 0) ^ 2 = 0/2! 4: e terminen; n = 3; (-1/3!) (X - 0) ^ 3 = -x ^ 3/3! 5: e valperiod; n = 4; (0/4!) (X - 0) ^ 4 = 0/4! Sjätte valperioden; n = 5; (1/5!) (X - 0) ^ 5 = x ^ 5/5! Taylor-serien för sin (x): sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! + ...
Släpp nolltermerna i serien och förenkla uttrycket algebraiskt för att bestämma den förenklade representationen av funktionen. Detta kommer att vara en helt annan serie, så värdena för "n" som använts tidigare gäller inte längre. sin (x) = 0 + x / 1! + 0 - (x ^ 3) / 3! + 0 + (x ^ 5) / 5! +... sin (x) = x / 1! - (x ^ 3) / 3! + (x ^ 5) / 5! -... Eftersom tecknen växlar mellan positivt och negativt måste den första komponenten i den förenklade ekvationen vara (-1) ^ n, eftersom det inte finns några jämna tal i serien. Termen (-1) ^ n resulterar i ett negativt tecken när n är udda och ett positivt tecken när n är jämnt. Serierepresentationen av udda tal är (2n + 1). När n = 0 är denna term lika med 1; när n = 1, är denna term lika med 3 och så vidare till oändligheten. I det här exemplet använder du den här representationen för exponenterna av x och faktoria i nämnaren
Använd representationen av funktionen istället för den ursprungliga funktionen. För mer avancerade och svårare ekvationer kan en Taylor-serie göra en olöslig ekvation löslig eller åtminstone ge en rimlig numerisk lösning.
