En av de viktiga operationerna du gör i kalkylen är att hitta derivat. Derivat av en funktion kallas också förändringshastigheten för den funktionen. Till exempel, om x (t) är positionen för en bil när som helst t, är derivatet av x, som skrivs dx / dt, bilens hastighet. Derivatet kan också visualiseras som lutningen på en linje som tangent till grafen för en funktion. På teoretisk nivå är det så matematiker hittar derivat. I praktiken använder matematiker uppsättningar grundläggande regler och uppslagstabeller.
Derivatet som en lutning
Lutningen på en linje mellan två punkter är stigningen, eller skillnaden i y-värden dividerat med körningen, eller skillnaden i x-värden. Lutningen för en funktion y (x) för ett visst värde av x definieras som lutningen för en linje som är tangent till funktionen vid punkten [x, y (x)]. För att beräkna lutningen konstruerar du en linje mellan punkten [x, y (x)] och en närliggande punkt [x + h, y (x + h)], där h är ett mycket litet tal. För denna rad är körningen, eller förändringen i x-värdet h, och stigningen, eller förändringen i y-värdet, är y (x + h) - y (x). Följaktligen är lutningen på y (x) vid punkten [x, y (x)] ungefär lika med [y (x + h) - y (x)] / [(x + h) - x] = [y ( x + h) - y (x)] / h. För att få lutningen exakt beräknar du lutningens värde när h blir mindre och mindre, till ”gränsen” där det går till noll. Lutningen beräknat på detta sätt är derivatet av y (x), som skrivs som y ’(x) eller dy / dx.
Derivatet av en kraftfunktion
Du kan använda lutning / gränsmetoden för att beräkna derivat av funktioner där y är lika med x till kraften för a, eller y (x) = x ^ a. Till exempel, om y är lika med x kubad, y (x) = x ^ 3, är dy / dx gränsen när h går till noll på [(x + h) ^ 3 - x ^ 3] / h. Expandering (x + h) ^ 3 ger [x ^ 3 + 3x ^ 2h + 3xh ^ 2 + h ^ 3 - x ^ 3] / h, vilket minskar till 3x ^ 2 + 3xh ^ 2 + h ^ 2 efter att du har delat av h. I gränsen när h går till noll går alla termer som har h i sig också till noll. Så, y ’(x) = dy / dx = 3x ^ 2. Du kan göra detta för värden på en annan än 3, och i allmänhet kan du visa att d / dx (x ^ a) = (a - 1) x ^ (a-1).
Derivat från en Power Series
Många funktioner kan skrivas som vad som kallas en kraftserie, som är summan av ett oändligt antal termer, var var och en har formen C (n) x ^ n, där x är en variabel, n är ett heltal och C (n) är ett specifikt tal för varje värde av n. Till exempel är kraftserien för sinusfunktionen Sin (x) = x - x ^ 3/6 + x ^ 5/120 - x ^ 7/5040 +..., där "..." betyder termer som fortsätter på till oändligheten. Om du känner till effektserien för en funktion kan du använda derivatet av kraften x ^ n för att beräkna funktionens derivat. Till exempel är derivatet av Sin (x) lika med 1 - x ^ 2/2 + x ^ 4/24 - x ^ 6/720 +..., vilket råkar vara kraftserien för Cos (x).
Derivat från tabeller
Derivaten av grundläggande funktioner såsom krafter som x ^ a, exponentiella funktioner, loggfunktioner och trig-funktioner, hittas med hjälp av lutnings- / gränsmetoden, kraftseriemetoden eller andra metoder. Dessa derivat listas sedan i tabeller. Du kan till exempel slå upp att derivatet av Sin (x) är Cos (x). När komplexa funktioner är kombinationer av de grundläggande funktionerna behöver du speciella regler som kedjeregel och produktregel, som också anges i tabellerna. Till exempel använder du kedjeregeln för att upptäcka att derivatet av Sin (x ^ 2) är 2xCos (x ^ 2). Du använder produktregeln för att finna att derivatet av xSin (x) är xCos (x) + Sin (x). Med hjälp av tabeller och enkla regler kan du hitta derivat av vilken funktion som helst. Men när en funktion är extremt komplex använder forskare ibland datorprogram för att få hjälp.