Ingenting förstör en ekvation som logaritmer. De är besvärliga, svåra att manipulera och lite mystiska för vissa människor. Lyckligtvis finns det ett enkelt sätt att befria din ekvation av dessa irriterande matematiska uttryck. Allt du behöver göra är att komma ihåg att en logaritm är den omvända av en exponent. Även om basen för en logaritm kan vara vilket som helst tal, är de vanligaste baserna som används i vetenskapen 10 och e, vilket är ett irrationellt tal som kallas Eulers nummer. För att skilja dem använder matematiker "log" när basen är 10 och "ln" när basen är e.
TL; DR (för lång; Läste inte)
För att bli av med en ekvation av logaritmer, höj båda sidor till samma exponent som logaritmens bas. I ekvationer med blandade termer, samla alla logaritmer på ena sidan och förenkla först.
Vad är en logaritm?
Konceptet med en logaritm är enkelt, men det är lite svårt att sätta ord på. En logaritm är det antal gånger du måste multiplicera ett tal i sig för att få ett annat nummer. Ett annat sätt att säga det är att en logaritm är den kraft som ett visst nummer - kallat basen - måste höjas för att få ett annat nummer. Kraften kallas logaritmens argument.
Logga till exempel82 = 64 betyder helt enkelt att höja 8 till kraften 2 ger 64. I ekvationsloggen x = 100, basen förstås vara 10, och du kan enkelt lösa för argumentet, x eftersom det svarar på frågan "10 höjd till vilken effekt är lika med 100?" Svaret är 2.
En logaritm är den omvända av en exponent. Ekvationsloggen x = 100 är ett annat sätt att skriva 10_x_ = 100. Detta förhållande gör det möjligt att ta bort logaritmer från en ekvation genom att höja båda sidor till samma exponent som logaritmens bas. Om ekvationen innehåller mer än en logaritm måste de ha samma bas för att denna ska fungera.
Exempel
I det enklaste fallet är logaritmen för ett okänt nummer lika med ett annat nummer:
\ log x = y
Höj båda sidorna till exponenter på 10, så får du
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
Sedan 10(logga x) är helt enkelt xblir ekvationen
x = 10 ^ y
När alla termer i ekvationen är logaritmer producerar ett algebraiskt uttryck att lyfta båda sidor till en exponent. Till exempel höja
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
till en effekt av 10 och du får:
x ^ 2 - 1 = x + 1
vilket förenklar till
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Lösningarna är x = −2; x = 1.
I ekvationer som innehåller en blandning av logaritmer och andra algebraiska termer är det viktigt att samla alla logaritmer på ena sidan av ekvationen. Du kan sedan lägga till eller subtrahera termer. Enligt lagen om logaritmer gäller följande:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Här är ett förfarande för att lösa en ekvation med blandade termer:
Börja med ekvationen: Till exempel
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Ordna om villkoren:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Tillämpa lagen om logaritmer:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Höj båda sidor till en kraft av 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Lösa åt x:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002