I matematik är en funktion en process som du tillämpar på en oberoende variabelxför att få den beroende variabelny. Om du tänker på det som att "gå från" dinxför att komma fram till diny, går en invers funktion i motsatt riktning, från resultatet tillbaka till det ursprungliga värdet. På ett sätt är en omvänd funktion motsatsen till originalet och "ångrar" processen.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En invers av en matematisk funktion vänder om rollerna föryochxi den ursprungliga funktionen.
Funktioner och inverser
Matematiker definierar en funktion som en process eller regel som genererar de ordnade paren i en uppsättning. Du kan tänka på den första medlemmen i paret somxav funktionen, och den andra medlemmen somy. I en sann funktion har det första värdet bara ett lösningsvärde som följer med det. Så var och enxvärdet har bara en motsvarandeyvärde. Så, ekvationen för den horisontella linjen,y= 1 är en funktion, men den vertikala linjen,x= 1 är inte.
Rita en graf
Grafen för en funktion och dess inversa är reflektioner av varandra, med en linje som representerar
y = xfungerar som "spegel". För att ta ett exempel, grafen för den naturliga logaritmfunktionen, ln (x), börjar vid negativ oändlighet vidyaxel och precis till höger om noll påxaxel. Därifrån korsar denxaxeln vid punkten, (1,0) och har en något stigande kurva överxaxel. Dess inversa, den naturliga exponentfunktionen exp (x), harx-ax som sin asymptot, med början vid negativ oändlighet påxaxel, strax ovanför den. Den korsaryaxel vid (0,1) och kurvor kraftigt uppåt. Rita de två funktionerna i ett diagram och rita sedan linjeny = x, och du ser att exp (x) och ln (x) spegla varandra.Sine och Cosine
Även om sinus- och cosinusfunktionerna är relaterade är den ena inte den andra inversen. Sinus- och cosinusfunktionerna ger liknande grafiska resultat, även om cosinus "leder" sinus 90 grader. Dessutom är cosinus derivat av sinus. Den inversa av sinusfunktionen är dock bågsin, och den inversa av cosinus är arkkosin.
Hitta en omvänd funktion
Det är relativt lätt att hitta det inversa av många funktioner: Byt ut “y”Och”x”I ekvationen och lösa sedan föry. Tänk till exempel på ekvationen
y = 2x + 4
Byt y förxger
x = 2y + 4
Subtrahera 4 från båda sidor för att få
x - 4 = 2y
och dela sedan båda sidor med 2 för att få
\ frac {x} {2} - 2 = y
vilket är den inversa funktionen.
Omvända icke-funktioner
Inte alla inverser av funktioner är också funktioner. Minns att definitionen av funktioner säger att varjexhar bara enyvärde. Även om bågsine är det motsatta av sinusfunktionen, är bågsidan inte tekniskt en funktion, somxvärden har oändligt många motsvarandeyvärden. Det är också sant med
y = x ^ 2 \ text {och} y = \ sqrt {x}
den första är en funktion, och den andra är dess inversa, men kvadratroten ger två motsvarandeyvärden, positiva och negativa, vilket gör det inte till en verklig funktion.
