En normal kurva är namnet på grafen för normal normal sannolikhetsfördelning, vilket är vad människor (ofta omedvetet) pratar om när de nämner någon "klockkurva" som visar var människor eller andra variabler står i förhållande till något befolkningsgenomsnitt eller medelvärde.
En normal normalkurva ger både en visuell och en numerisk representation av hur en viss variabel fördelas över en population när verkliga situationen som representeras av funktionen är känd för att ha en symmetrisk fördelning i befolkningen av intresse (därav "klockan" form). Detta kan inkludera IQ eller höjd hos män, vilket är lika troligt att det varierar mot ena sidan av medelvärdet som det är för det andra, och det kommer sannolikt också att variera med samma storlek.
Alla normala kurvor och tillhörande data har vissa attribut gemensamt som möjliggör generering av numeriska tabeller som möjliggör lösning av areavärden i stället för mer komplex matematik beräkningar.
Standard normalfördelning
I varje normalfördelning faller, per definition, knappt 68 procent av datapunkterna inom en standardavvikelse från medelvärdet av befolkningen eller populationsprovet. Cirka 95 procent ligger inom två standardavvikelser och 99,9 procent ligger inom tre standardavvikelser.
Varje standardavvikelsemärke tilldelas ett heltal om medelvärdet (t.ex. -3, -2, 1, 1, 2, 3) och tilldelas variabel z. Detta värde, eller z-poäng, kan också ta på sig icke-heltal värden (t.ex. -2,58).
Z-poäng används för att bestämma sannolikheten för att en händelse inträffar inom ett specificerat intervall av möjligheter. Om du till exempel får veta att medelvärdet och standardavvikelsen för IQ (intelligenskvotient) är 100 och 20 poäng, vilket gör z = 0 för IQ = 100 och z = 1.0 för IQ = 120, och ombeds att ange sannolikheten att en slumpmässigt vald person kommer att ha en IQ på 140 eller högre, använder du en z-tabell för att komma fram till en lösning.
Området under den normala kurvan
I de flesta fall i matematik hittas området under kurvan i diagrammet för en ekvation genom att manipulera den ekvationens unika element direkt, till exempel genom att integrera kurvan mellan x-koordinaterna för intressera. Med den normala kurvan letar du istället upp antingen ett eller två tal i en tabell som kallas z-värden och vid behov utför ett subtraheringssteg.
Arean under hela normalkurvan, oavsett dess exakta form, tilldelas värdet 1,0. Alla partiella områden under normalkurvan är således decimaltal mellan 0 och 1 och kan enkelt konverteras till procent genom att multiplicera dem med 100.
Z-tabeller möjliggör avläsningar upp till poängens hundradel för att ge områden till fyra eller fem signifikanta siffror. Detta görs genom att få tionde plats på vänster axel och sedan läsa över lämplig rad för att få hundradeplatsen.
- Detta förklarar varför andelen yta till vänster om z = -2,58 är .00494.
Normalfördelning: Område mellan två punkter
Antag att du i ett test med ett medelvärde på 80 och en standardavvikelse på 10 vill veta vilken procentandel av eleverna som fick poäng mellan 65 och 85.
Du skulle börja med att hitta övre och nedre z-poäng. Detta görs genom att subtrahera medelvärdet från din övre gräns och dividera med standardavvikelsen: (85 - 80) / 10 = 0,50. Du hittar sedan den nedre gränsen på samma sätt: (65 - 80) / 10 -1,50.
Nu kan du tilldela områdesvärden till dessa z-poäng genom att hänvisa till tabellen. Dessa värden är 0.68916 för z = 0.5 och 0.06681 för z = 1.5. Var och en av dessa områden representerar området under kurvan från vänster "svans" till x-värdet i fråga, så för området mellan de två punkterna x = 65 och x = 85, subtraherar du det lägre värdet från det större för att få 0.63135.
Således kunde 63,1 procent av poängen förväntas falla inom intervallet 65 till 85 med en standardavvikelse på 10 i en normalfördelning.