En positiv exponent berättar hur många gånger bastalet ska multipliceras med sig själv. Till exempel den exponentiella termeny3 är det samma somy × y × y, ellerymultiplicerat med sig själv två gånger. När du förstår det grundläggande konceptet kan du börja lägga till extra lager som negativa exponenter, fraktionerade exponenter eller till och med en kombination av båda.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En negativ, fraktionerad exponenty −m/n kan tas med i formen:
1 / (n√y)m
Faktorisering av negativa krafter
Innan vi tar hänsyn till negativa, fraktionerade exponenter, låt oss ta en snabb titt på hur man kan faktorisera negativa exponenter, eller negativa krafter, i allmänhet. En negativ exponent gör exakt det inversa av en positiv exponent. Så medan en positiv exponent soma4 säger att du ska multipliceraaav sig själv tre gånger (så det finns totalt fyra i uttrycket), ellera × a × a × a,att se en negativ exponent ber digdela uppförbiafyra gånger: så
a ^ {- 4} = \ frac {1} {a × a × a × a}
Eller för att uttrycka det mer formellt:
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
Faktorering av fraktionerade exponenter
Nästa steg är att lära sig att faktorera fraktionerade exponenter. Låt oss börja med en mycket enkel fraktionerad exponent, till exempelx1/y. När du ser en fraktionerad exponent som denna betyder det att du måste tayroten till basnumret. För att uttrycka det mer formellt:
x ^ {1 / y} = \ sqrt [y] {x}
Om det verkar förvirrande kan några konkreta exempel hjälpa till:
y ^ {1/3} = \ sqrt [3] {y} \\ b ^ {1/2} = \ sqrt {b}
(Kom ihåg, √xär det samma som 2√x;men detta uttryck är så vanligt att 2eller indexnummer utelämnas.)
8 ^ {1/3} = \ sqrt [3] {8} = 2
Vad händer om räknaren för fraktionerad exponent inte är 1? Då kvarstår numret som en exponent, applicerad på hela "root" -termen. Formellt betyder det:
y ^ {m / n} = (\ sqrt [n] {y}) ^ m
Som ett mer konkret exempel, överväg detta:
a ^ {b / 5} = (\ sqrt [5] {a}) ^ b
Kombinera negativa och fraktionerade exponenter
När det gäller att faktorisera negativa fraktionerade exponenter kan du kombinera det du har lärt dig om factoringuttryck med negativa exponenter och de med fraktionerade exponenter.
Kom ihåg,
x ^ {- y} = \ frac {1} {x ^ y}
oavsett vad som finns iyfläck;ykan till och med vara en bråkdel.
Så om du har ett uttryckx −a/b, det är lika med 1 / (xa/b). Men du kan förenkla ett steg längre genom att också tillämpa det du vet om fraktionerade exponenter på termen i nämnaren för fraktionen.
Kom ihåg,
y ^ {m / n} = (\ sqrt [n] {y}) ^ m
eller, för att använda de variabler du redan har att göra med,
x ^ {a / b} = (\ sqrt [b] {x}) ^ a
Så det fortsatta steget för att förenklax −a/b, du har
x ^ {- a / b} = \ frac {1} {x ^ {a / b}} = \ frac {1} {(\ sqrt [b] {x}) ^ a}
Det är så långt du kan förenkla utan att veta mer omx, bellera.Men om du vet mer om någon av dessa termer kan du kanske förenkla ytterligare.
Ett annat exempel på att förenkla fraktionerade negativa exponenter
För att illustrera det, här är ytterligare ett exempel med lite mer information tillagd:
Förenkla
16^{-4/8}
Först märkte du att −4/8 kan reduceras till −1/2? Så du har 16 −1/2, som redan ser mycket vänligare ut (och kanske ännu mer bekant) än det ursprungliga problemet.
Förenklad som tidigare kommer du fram till
16 ^ {- 1/2} = \ frac {1} {(\ sqrt [2] {16}) ^ 1}
som vanligtvis skrivs helt enkelt som
\ frac {1} {\ sqrt {16}}
Och eftersom du vet (eller snabbt kan beräkna) att √16 = 4 kan du förenkla det sista steget till:
16 ^ {- 4/8} = \ frac {1} {4}