För att hitta en invers funktion i matematik måste du först ha en funktion. Det kan vara nästan vilken uppsättning operationer som helst för den oberoende variabelnxsom ger ett värde för den beroende variabelny. I allmänhet för att bestämma det inversa av en funktion avx, ersättareyförxochxföryi funktionen, lösa sedan förx.
TL; DR (för lång; Läste inte)
Generellt, för att hitta det omvända av en funktion avx, ersättareyförxochxföryi funktionen, lösa sedan förx.
Omvänd funktion definierad
Den matematiska definitionen av en funktion är en relation (x, y) för vilka endast ett värde avyfinns för något värde avx. Till exempel när värdet påxär 3, är förhållandet en funktion omyhar bara ett värde, till exempel 10. Det inversa av en funktion taryvärden för den ursprungliga funktionen som sin egenxvärden och produceraryvärden som är de ursprungliga funktionernaxvärden. Till exempel om den ursprungliga funktionen returneradeyvärdena 1, 3 och 10 när dessxvariablerna hade värdena 0, 1 och 2, skulle den inversa funktionen återvända
yvärdena 0, 1 och 2 när dessxvariabeln hade värdena 1, 3 och 10. I huvudsak byter en invers funktion utxochyoriginalets värden. I matematiskt språk, om den ursprungliga funktionen är f (x) och det inversa är g (x), dåg (f (x)) = x
Algebra-metod för invers funktion
För att hitta det inversa av en funktion som involverar de två variablerna,xochy, Ersättxvillkor medyoch denyvillkor medxoch lösa förx. Som ett exempel, ta den linjära ekvationen,y = 7x − 15.
y = 7x - 15 \ quad \ text {(Originalfunktion)} \\ \, \\ x = 7y - 15 \ quad \ text {(Ersätt y med x och x med y)} \\ \, \\ x + 15 = 7y - 15 + 15 \ quad \ text {(Lägg till 15 till båda sidor.)} \\ \, \\ x + 15 = 7y \ quad \ text {(Förenkla)} \\ \, \\ \ frac {x + 15} {7} = \ frac {7y} {7} \ quad \ text {(Dela båda sidor med 7.)} \\ \, \\ \ frac {x + 15} {7} = y \ quad \ text {(Förenkla)}
Funktionen, (x + 15) / 7 = yär det omvända av originalet.
Inversa trigonometriska funktioner
För att hitta det inversa av en trigonometrisk funktion, lönar det sig att veta om alla trig-funktionerna och deras inverser. Till exempel om du vill hitta det inversa avy= synd (x), du måste veta att det inversa av sinusfunktionen är bågfunktionen; ingen enkel algebra tar dig dit utan bågsin (x). De andra trig-funktionerna, cosinus, tangent, cosecant, secant och cotangent, har de inverterade funktionerna arccosine, arctangent, arccosecant, arcesant och arccotangent. Till exempel den inversa avy= cos (x) äry= arccos (x).
Diagram över funktion och invers
Grafen för en funktion och dess inversa är intressant. När du plottar de två kurvorna ritar du sedan en linje som motsvarar funktionen,y = xkommer du att märka att raden visas som en "spegel". Vilken kurva eller linje som helst nedany = x”reflekteras” symmetriskt ovanför den. Detta gäller för alla funktioner, oavsett om det är polynom, trigonometrisk, exponentiell eller linjär. Med denna princip kan du grafiskt illustrera det inversa av en funktion genom att grafera den ursprungliga funktionen, rita linjen vidy = xoch sedan rita kurvorna eller linjerna som behövs för att skapa en ”spegelbild” som hary = xsom en symmetriaxel.