Absolutvärdeekvationer kan vara lite skrämmande först, men om du håller på med det kommer du snart att lösa dem enkelt. När du försöker lösa absolutvärdesekvationer hjälper det att hålla betydelsen av absolut värde i åtanke.
Definition av absolut värde
Deabsolutvärdeav ett nummerx, skriven |x|, är dess avstånd från noll på en talrad. Till exempel är −3 3 enheter från noll, så det absoluta värdet −3 är 3. Vi skriver det så här: | −3 | = 3.
Ett annat sätt att tänka på är detabsolutvärdeär den positiva "versionen" av ett nummer. Så det absoluta värdet av −3 är 3, medan det absoluta värdet av 9, som redan är positivt, är 9.
Algebraiskt kan vi skriva enformel för absolut värdesom ser ut så här:
| x | = \ börja {cases} x & \ text {if} x≥ 0 \\ -x & \ text {if} x ≤ 0 \ end {cases}
Ta ett exempel därx= 3. Eftersom 3 ≥ 0 är absolutvärdet 3 3 (i absolutvärdesnotation, det är: | 3 | = 3).
Tänk nu omx= −3? Det är mindre än noll, så | −3 | = - (−3). Motsatsen, eller "negativ", av −3 är 3, så | −3 | = 3.
Lösa absolutvärdeekvationer
Nu för några absoluta värdeekvationer. De allmänna stegen för att lösa en absolutvärdesekvation är:
Isolera uttrycket för absolut värde.
Lös den positiva "versionen" av ekvationen.
Lös den negativa "versionen" av ekvationen genom att multiplicera kvantiteten på andra sidan av likhetstecknet med −1.
Ta en titt på problemet nedan för ett konkret exempel på stegen.
Exempel: Lös ekvationen förx:
| 3 + x | - 5 = 4
Du måste få | 3 +x| av sig själv på vänster sida av likhetstecknet. För att göra detta, lägg till 5 på båda sidor:
| 3 + x | - 5 + 5 = 4 + 5 \\ | 3 + x | = 9
Lösa åtxsom om absolutvärdetecknet inte var där!
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9
Det är enkelt: subtrahera bara 3 från båda sidor.
3 + x -3 = 9 -3 \\ x = 6
Så en lösning på ekvationen är attx = 6.
Börja igen på | 3 +x| = 9. Algebra i föregående steg visade detxkan vara 6. Men eftersom det här är en absolut värdeekvation finns det en annan möjlighet att överväga. I ekvationen ovan, det absoluta värdet av "något" (3 +x) är lika med 9. Visst, det absoluta värdet av positiva 9 är lika med 9, men det finns ett annat alternativ här också! Det absoluta värdet på −9 är också lika med 9. Så det okända "något" kan också vara lika med −9.
Med andra ord:
3 + x = -9
Det snabba sättet att komma fram till denna andra version är att multiplicera kvantiteten på andra sidan av är lika med det absoluta värdeuttrycket (9, i detta fall) med −1, lösa sedan ekvationen från där.
Så:
| 3 + x | = 9 → 3 + x = 9 × (-1) \\ 3 + x = -9
Subtrahera 3 från båda sidor för att få:
3 + x -3 = -9 -3 \\ x = -12
Så de två lösningarna är:x= 6 ellerx = −12.
Och där har du det! Denna typ av ekvationer övar, så oroa dig inte om du först kämpar. Fortsätt med det så blir det lättare!