En kvadratisk ekvation är en som innehåller en enda variabel och där variabeln är kvadratisk. Standardformuläret för denna typ av ekvation, som alltid producerar en parabel när den ritas, äryxa2 + bx + c= 0, dära, bochcär konstanter. Att hitta lösningar är inte lika okomplicerat som det är för en linjär ekvation, och en del av anledningen är att det på grund av den kvadrerade termen alltid finns två lösningar. Du kan använda en av tre metoder för att lösa en kvadratisk ekvation. Du kan faktorera termerna, som fungerar bäst med enklare ekvationer, eller så kan du komplettera rutan. Den tredje metoden är att använda den kvadratiska formeln, vilken är en generaliserad lösning på varje kvadratisk ekvation.
Den kvadratiska formeln
För en generell kvadratisk ekvation av formuläretyxa2 + bx + c= 0, lösningarna ges med denna formel:
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Observera att ± tecknet inuti fästena betyder att det alltid finns två lösningar. En av lösningarna använder
\ frac {−b + \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
och den andra lösningen använder
\ frac {−b - \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Använda kvadratisk formel
Innan du kan använda den kvadratiska formeln måste du se till att ekvationen är i standardform. Det kanske inte är. Vissax2 termer kan finnas på båda sidor av ekvationen, så du måste samla dem på höger sida. Gör detsamma med alla x termer och konstanter.
Exempel: Hitta lösningarna på ekvationen
3x ^ 2 - 12 = 2x (x -1)
Expandera fästena:
3x ^ 2 - 12 = 2x ^ 2 - 2x
Subtrahera 2x2 och från båda sidor. Lägg till 2xtill båda sidor
3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 2x ^ 2 -2x ^ 2 -2x + 2x \\ 3x ^ 2 - 2x ^ 2 + 2x - 12 = 0 \\ x ^ 2 - 2x -12 = 0
Denna ekvation är i standardformyxa2 + bx + c= 0 dära = 1, b= −2 ochc = 12
Den kvadratiske formeln är
x = \ frac {−b ± \ sqrt {b ^ 2 - 4ac}} {2a}
Eftersoma = 1, b= −2 ochc= −12, detta blir
x = \ frac {- (- 2) ± \ sqrt {(- 2) ^ 2 - 4 × 1 × (-12)}} {2 × 1}
x = \ frac {2 ± \ sqrt {(4+ 48}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± \ sqrt {52}} {2} \\ \, \\ x = \ frac {2 ± 7,21} {2} \\ \, \\ x = \ frac {9.21} {2} \ text {och} x = \ frac {−5.21} {2} \\ \, \\ x = 4,605 \ text {och} x = −2.605
Två andra sätt att lösa kvadratiska ekvationer
Du kan lösa kvadratiska ekvationer genom att ta en faktor. För att göra detta gissar du mer eller mindre på ett par siffror som, när de läggs samman, ger konstantenboch, när multiplicerat tillsammans, ge konstantenc. Denna metod kan vara svår när fraktioner är inblandade. och skulle inte fungera bra för exemplet ovan.
Den andra metoden är att komplettera torget. Om du har en ekvation är standardform,yxa2 + bx + c= 0, sättcpå höger sida och lägg till termen (b/2)2 till båda sidor. Detta låter dig uttrycka vänster sida som (x + d)2, vardär en konstant. Du kan sedan ta kvadratroten på båda sidor och lösa förx. Återigen är ekvationen i exemplet ovan lättare att lösa med hjälp av den kvadratiske formeln.