Vad är riktiga siffror?

De verkliga siffrorna är alla siffror på en talrad som sträcker sig från negativ oändlighet till noll till positiv oändlighet. Denna konstruktion av uppsättningen av reella tal är inte godtycklig utan snarare resultatet av en utveckling från de naturliga tal som används för att räkna. Systemet med naturliga tal har flera inkonsekvenser, och när beräkningarna blev mer komplexa utvidgades nummersystemet för att ta itu med dess begränsningar. Med verkliga siffror ger beräkningar konsekventa resultat, och det finns få undantag eller begränsningar som fanns med de mer primitiva versionerna av nummersystemet.

TL; DR (för lång; Läste inte)

Uppsättningen med verkliga siffror består av alla siffror på en nummerrad. Detta inkluderar naturliga tal, heltal, heltal, rationella tal och irrationella tal. Det inkluderar inte imaginära tal eller komplexa nummer.

Stängning är egenskapen för en uppsättning siffror som innebär att om tillåtna beräkningar utförs på nummer som är medlemmar i uppsättningen, blir svaren också siffror som är medlemmar i uppsättningen. Satsen sägs vara stängd.

Naturliga tal är räknande siffror, 1, 2, 3..., och uppsättningen naturliga tal stängs inte. Eftersom naturliga siffror användes i handeln uppstod omedelbart två problem. Medan de naturliga siffrorna räknade riktiga objekt, till exempel kor, om en jordbrukare hade fem kor och sålde fem kor, fanns det inget naturligt antal för resultatet. Tidiga nummersystem utvecklade mycket snabbt en term för noll för att lösa detta problem. Resultatet var systemet med heltal, vilket är de naturliga siffrorna plus noll.

Det andra problemet var också associerat med subtraktion. Så länge som antalet räknade riktiga föremål som kor, kunde bonden inte sälja fler kor än han hade. Men när siffrorna blev abstrakta, att subtrahera större antal från mindre gav svar utanför systemet för heltal. Som ett resultat infördes heltal, som är heltal plus negativa naturliga tal. Nummersystemet inkluderade nu en komplett sifferrad men bara med heltal.

Beräkningar i ett slutet nummersystem ska ge svar inifrån nummersystemet för operationer såsom addition och multiplikation men också för deras inversa operationer, subtraktion och division. Systemet med heltal är stängt för addition, subtraktion och multiplikation men inte för division. Om ett heltal delas med ett annat heltal är resultatet inte alltid ett heltal.

Att dela ett litet heltal med ett större ger en bråkdel. Sådana fraktioner lades till nummersystemet som rationella tal. Rationella tal definieras som valfritt tal som kan uttryckas som ett förhållande mellan två heltal. Vilket som helst godtyckligt decimaltal kan uttryckas som ett rationellt tal. Exempelvis är 2.864 2864/1000 och 0.89632 är 89632 / 100.000. Siffran verkade nu vara komplett.

Det finns siffror på talraden som inte kan uttryckas som en bråkdel av heltal. En är förhållandet mellan sidorna av en rätvinklig triangel och hypotenusen. Om två av sidorna av en rätvinklig triangel är 1 och 1 är hypotenus kvadratroten av 2. Kvadratroten av två är ett oändligt decimal som inte upprepas. Sådana nummer kallas irrationella och de inkluderar alla verkliga tal som inte är rationella. Med denna definition är talraden för alla reella tal komplett eftersom alla andra reella tal som inte är rationella ingår i definitionen av irrationella.

Även om den verkliga talraden sägs sträcka sig från negativ till positiv oändlighet, är oändligheten i sig inte en reellt tal utan snarare ett begrepp för nummersystemet som definierar det som en större mängd än någon annan siffra. Matematiskt oändlighet är svaret på 1 / x när x når noll, men delning med noll definieras inte. Om oändligheten var ett tal skulle det leda till motsägelser eftersom oändligheten inte följer aritmetikens lagar. Till exempel är oändlighet plus 1 fortfarande oändlighet.

Uppsättningen av reella tal är stängd för addition, subtraktion, multiplikation och delning förutom för delning med noll, vilket inte är definierat. Satsen är inte stängd för minst en annan operation.

Reglerna för multiplikation i uppsättningen av reella tal anger att multiplikationen av ett negativt och a positivt tal ger ett negativt tal medan multiplicering av positiva eller negativa tal ger positivt svar. Detta innebär att specialfallet att multiplicera ett tal i sig ger ett positivt tal för både positiva och negativa tal. Det omvända av detta speciella fall är kvadratroten av ett positivt tal, vilket ger både ett positivt och ett negativt svar. För kvadratroten av ett negativt tal finns det inget svar i uppsättningen reella tal.

Begreppet uppsättning imaginära tal behandlar frågan om negativa kvadratrötter i de verkliga siffrorna. Kvadratroten på minus 1 definieras som i och alla imaginära tal är multiplar av i. För att slutföra talteorin definieras uppsättningen komplexa tal som inkluderar alla verkliga och alla imaginära tal. Verkliga siffror kan fortsätta att visualiseras på en horisontell talrad medan imaginära tal är en vertikal talrad, med de två som skär varandra på noll. Komplexa tal är punkter i planet för de två talraderna, var och en med en riktig och en imaginär komponent.