I matematik är en funktion en regel som relaterar varje element i en uppsättning, som kallas domänen, till exakt ett element i en annan uppsättning, som kallas området. På enx-yaxel representeras domänen påx-axel (horisontell axel) och domänen påy-axel (vertikal axel). En regel som relaterar ett element i domänen till mer än ett element i intervallet är inte en funktion. Detta krav innebär att om du graferar en funktion kan du inte hitta en vertikal linje som korsar diagrammet på mer än en plats.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En relation är en funktion endast om den relaterar varje element i sin domän till endast ett element i intervallet. När du ritar en funktion skär en vertikal linje den bara vid en punkt.
Matematisk representation
Matematiker representerar vanligtvis funktioner med bokstäverna "f(x), "även om alla andra bokstäver fungerar lika bra. Du läser bokstäverna som "favxMsgstr "Om du väljer att representera funktionen somg(y), skulle du läsa det som "gavy. "Ekvationen för funktionen definierar den regel med vilken ingångsvärdet
xomvandlas till ett annat nummer. Det finns ett oändligt antal sätt att göra detta. Här är tre exempel:f (x) = 2x \\ \, \\ g (y) = y ^ 2 + 2y + 1 \\ \, \\ p (m) = \ frac {1} {\ sqrt {m - 3}}
Bestämning av domänen
Uppsättningen av siffror som funktionen "fungerar" för är domänen. Detta kan vara alla siffror, eller det kan vara en specifik uppsättning siffror. Domänen kan också vara alla siffror utom en eller två som funktionen inte fungerar för. Till exempel domänen för funktionen
f (x) = \ frac {1} {2-x}
är alla siffror utom 2, för när du matar in två är nämnaren 0 och resultatet är odefinierat. Domänen för
\ frac {1} {4 - x ^ 2}
å andra sidan är alla siffror utom +2 och −2 eftersom kvadraten för båda dessa siffror är 4.
Du kan också identifiera domänen för en funktion genom att titta på dess graf. Börja längst till vänster och flytta till höger, rita vertikala linjer genomx-axel. Domänen är alla värden påxför vilken linjen skär grafen.
När är en relation inte en funktion?
Per definition relaterar en funktion varje element i domänen till endast ett element i intervallet. Detta innebär att varje vertikal linje du drar genomx-ax kan korsa funktionen vid endast en punkt. Detta fungerar för alla linjära ekvationer och högre effektekvationer där endast x-termen höjs till en exponent. Det fungerar inte alltid för ekvationer där bådexochyvillkor höjs till en makt. Till exempel,x2 + y2 = a2 definierar en cirkel. En vertikal linje kan korsa en cirkel vid mer än en punkt, så denna ekvation är inte en funktion.
I allmänhet ett förhållandef(x) = yär en funktion endast om, för varje värde avxsom du ansluter till det får du bara ett värde föry. Ibland är det enda sättet att berätta om en given relation är en funktion eller inte är att prova olika värden för x för att se om de ger unika värden föry.
Exempel:Definierar följande ekvationer funktioner?
y = 2x +1
Detta är ekvationen för en rak linje med lutning 2 ochy-avsnitt 1, så detÄRen funktion.
y ^ 2 = x + 1
Låtax= 3. Värdet för y kan då vara ± 2, så dettaÄR INTEen funktion.
y ^ 3 = x ^ 2
Oavsett vilket värde vi sätter förx, vi får bara ett värde föry, så det härÄRen funktion.
y ^ 2 = x ^ 2
Därför atty = ±√x2, dettaÄR INTEen funktion.