Bokstaven E kan ha två olika betydelser i matematik, beroende på om det är en stor E eller en gemener e. Du ser vanligtvis huvudstaden E på en miniräknare, där det betyder att höja antalet som kommer efter det till en effekt på 10. Till exempel skulle 1E6 stå för 1 × 106eller 1 miljon. Normalt är användningen av E reserverad för siffror som skulle vara för långa för att visas på miniräknarens skärm om de skrivs ut långt.
Matematiker använder gemener e för ett mycket mer intressant syfte - för att beteckna Eulers nummer. Detta tal, som π, är ett irrationellt tal, eftersom det har ett decimal som inte återkommer som sträcker sig till oändlighet. Som en irrationell person verkar ett irrationellt tal inte vara meningsfullt, men numret som e betecknar behöver inte vara vettigt för att vara användbart. Faktum är att det är ett av de mest användbara siffrorna i matematik.
E i vetenskaplig notation och betydelsen av 1E6
Du behöver inte en miniräknare för att använda E för att uttrycka ett tal i vetenskaplig notation. Du kan helt enkelt låta E stå för basroten till en exponent, men bara när basen är 10. Du skulle inte använda E för att stå för bas 8, 4 eller någon annan bas, speciellt om basen är Eulers nummer, e.
När du använder E på detta sätt skriver du numretxEy, varxär den första uppsättningen heltal i talet ochyär exponenten. Till exempel skulle du skriva siffran 1 miljon som 1E6. I regelbunden vetenskaplig notation är detta 1 × 106, eller 1 följt av 6 nollor. På samma sätt skulle 5 miljoner vara 5E6 och 42732 skulle vara 4,27E4. När du skriver ett nummer i vetenskaplig notation, oavsett om du använder E eller inte, avrundar du vanligtvis till två decimaler.
Var kommer Eulers nummer, e, ifrån?
Antalet som representeras av e upptäcktes av matematikern Leonard Euler som en lösning på ett problem som en annan matematiker, Jacob Bernoulli, ställde 50 år tidigare. Bernoullis problem var ett ekonomiskt problem.
Antag att du lägger 1000 dollar i en bank som betalar 100% årlig ränta och lämnar den där i ett år. Du har 2000 dollar. Antag nu att räntan är hälften så, men banken betalar den två gånger om året. I slutet av ett år skulle du ha 2250 dollar. Antag nu att banken bara betalade 8,33%, vilket är 1/12 av 100%, men betalade det 12 gånger om året. I slutet av året skulle du ha $ 2 613. Den allmänna ekvationen för denna progression är:
\ bigg (1 + \ frac {r} {n} \ bigg) ^ n
varrär 1 och n är betalningsperioden.
Det visar sig att när n närmar sig oändligheten blir resultatet närmare och närmare e, vilket är 2,7182818284 till 10 decimaler. Så här upptäckte Euler det. Den maximala avkastningen du kan få på en investering på 1 000 dollar på ett år skulle vara 2 718 dollar.
Eulers antal i naturen
Exponenter med e som bas är kända som naturliga exponenter, och här är anledningen. Om du plottar ett diagram över
y = e ^ x
du får en kurva som ökar exponentiellt, precis som om du ritade kurvan med bas 10 eller något annat nummer. Men kurvany= exhar två speciella egenskaper. För vilket värde som helstx, värdet avyär lika med värdet på grafens lutning vid den punkten, och det är också lika med området under kurvan upp till den punkten. Detta gör e till ett särskilt viktigt nummer i kalkylen och inom alla vetenskapsområden som använder kalkyl.
Den logaritmiska spiralen, som representeras av ekvationen
r = ae ^ {bθ}
finns i hela naturen, i snäckskal, fossiler och och blommor. Dessutom dyker e upp i många vetenskapliga sammanhang, inklusive studier av elektriska kretsar, lagarna om uppvärmning och kylning och fjäderdämpning. Även om det upptäcktes för 350 år sedan, fortsätter forskarna att hitta nya exempel på Eulers antal i naturen.