Ekvation av ett plan i tredimensionellt utrymme kan skrivas i algebraisk notation som ax + av + cz = d, där minst en av realtallskonstanterna "a", "b" och "c" får inte vara noll och "x", "y" och "z" representerar axlarna för den tredimensionella plan. Om tre poäng ges kan du bestämma planet med hjälp av vektorkorsprodukter. En vektor är en linje i rymden. En tvärprodukt är multiplikationen av två vektorer.
Få de tre punkterna på planet. Märk dem "A", "B" och "C." Antag till exempel att dessa punkter är A = (3, 1, 1); B = (1, 4, 2); och C = (1, 3, 4).
Hitta två olika vektorer på planet. I exemplet väljer du vektorerna AB och AC. Vector AB går från punkt A till punkt B och vektor AC går från punkt A till punkt C. Så subtrahera varje koordinat i punkt-A från varje koordinat i punkt-B för att få vektor AB: (-2, 3, 1). På samma sätt är vektor AC punkt-C minus punkt-A eller (-2, 2, 3).
Beräkna tvärprodukten för de två vektorerna för att få en ny vektor, som är normal (eller vinkelrät eller ortogonal) mot var och en av de två vektorerna och även till planet. Tvärprodukten från två vektorer, (a1, a2, a3) och (bl, b2, b3), ges av N = i (a2b3 - a3b2) + j (a3b1 - a1b3) + k (a1b2 - a2b1). I exemplet är tvärprodukten, N, av AB och AC i [(3 x 3) - (1 x 2)] + j [(1 x -2) - (-2 x 3)] + k [( -2 x 2) - (3x - 2)], vilket förenklar till N = 7i + 4j + 2k. Observera att "i", "j" och "k" används för att representera vektorkoordinater.
Hämta ekvationen av planet. Ekvationen av planet är Ni (x - a1) + Nj (y - a2) + Nk (z - a3) = 0, där (a1, a2, a3) är vilken punkt som helst i planet och (Ni, Nj, Nk är den normala vektorn, N. I exemplet, med hjälp av punkt C, som är (1, 3, 4), är ekvationen för planet 7 (x - 1) + 4 (y - 3) + 2 (z - 4) = 0, vilket förenklar 7x - 7 + 4y - 12 + 2z - 8 = 0, eller 7x + 4y + 2z = 27.
Verifiera ditt svar. Ersätt de ursprungliga punkterna för att se om de uppfyller ekvationen på planet. För att avsluta exemplet, om du ersätter någon av de tre punkterna, kommer du att se att planens ekvation verkligen är uppfylld.
Tips
Se Resurser för tips om hur man använder system med tre samtidiga ekvationer för att hitta ekvationen för ett plan.