I algebra är sekvenser av tal värdefulla för att studera vad som händer när något blir större eller mindre. En aritmetisk sekvens definieras av den gemensamma skillnaden, vilken är skillnaden mellan ett nummer och nästa i sekvensen. För aritmetiska sekvenser är denna skillnad ett konstant värde och kan vara positivt eller negativt. Som ett resultat fortsätter en aritmetisk sekvens att bli större eller mindre med en fast mängd varje gång ett nytt nummer läggs till i listan som utgör sekvensen.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En aritmetisk sekvens är en lista med siffror där på varandra följande termer skiljer sig med en konstant mängd, den vanliga skillnaden. När den gemensamma skillnaden är positiv fortsätter sekvensen att öka med en fast mängd, medan om den är negativ minskar sekvensen. Andra vanliga sekvenser är den geometriska sekvensen, i vilken termer skiljer sig åt med en gemensam faktor, och Fibonacci-sekvensen, där varje nummer är summan av de två tidigare siffrorna.
Hur en aritmetisk sekvens fungerar
En aritmetisk sekvens definieras av ett startnummer, en gemensam skillnad och antalet termer i sekvensen. Till exempel är en aritmetisk sekvens som börjar med 12, en vanlig skillnad på 3 och fem termer 12, 15, 18, 21, 24. Ett exempel på en minskande sekvens är en som börjar med siffran 3, en vanlig skillnad på −2 och sex termer. Denna sekvens är 3, 1, −1, −3, −5, −7.
Aritmetiska sekvenser kan också ha ett oändligt antal termer. Till exempel skulle den första sekvensen ovan med ett oändligt antal termer vara 12, 15, 18,... och den sekvensen fortsätter till oändligheten.
Aritmetisk medelvärde
En aritmetisk sekvens har en motsvarande serie som lägger till alla termer i sekvensen. När termerna läggs till och summan divideras med antalet termer är resultatet det aritmetiska medelvärdet eller genomsnittet. Formeln för det aritmetiska medelvärdet är
\ text {mean} = \ frac {\ text {summa av} n \ text {termer}} {n}
Ett snabbt sätt att beräkna medelvärdet av en aritmetisk sekvens är att använda observationen att när den första och sista termer läggs till, summan är densamma som när de andra och näst sista termerna läggs till eller den tredje och tredje till sista villkor. Som ett resultat är summan av sekvensen summan av de första och sista termerna gånger halva antalet termer. För att få medelvärdet divideras summan med antalet termer, så medelvärdet av en aritmetisk sekvens är halva summan av de första och sista termerna. Förnvillkora1 tillanmotsvarande formel för medelvärdet m är
m = \ frac {a_1 + a_n} {2}
Oändliga aritmetiska sekvenser har inte en sista term, och därför är deras medel odefinierad. I stället kan ett medelvärde för en partiell summa hittas genom att begränsa summan till ett definierat antal termer. I så fall kan delsumman och dess medel hittas på samma sätt som för en icke-oändlig sekvens.
Andra typer av sekvenser
Talsekvenser baseras ofta på observationer från experiment eller mätningar av naturfenomen. Sådana sekvenser kan vara slumpmässiga siffror men ofta visar sig sekvenser att vara aritmetiska eller andra ordnade nummerlistor.
Till exempel skiljer sig geometriska sekvenser från aritmetiska sekvenser eftersom de har en gemensam faktor snarare än en gemensam skillnad. Istället för att få ett nummer adderat eller subtraherat för varje ny term, multipliceras eller delas ett tal varje gång en ny term läggs till. En sekvens som är 10, 12, 14,... som en aritmetisk sekvens med en gemensam skillnad på 2 blir 10, 20, 40,... som en geometrisk sekvens med en gemensam faktor 2.
Andra sekvenser följer helt andra regler. Till exempel bildas Fibonacci-sekvenstermerna genom att lägga till de tidigare två siffrorna. Dess sekvens är 1, 1, 2, 3, 5, 8,... Termerna måste läggas till individuellt för att få en partiell summa eftersom den snabba metoden att lägga till de första och sista termerna inte fungerar för denna sekvens.
Aritmetiska sekvenser är enkla men de har verkliga applikationer. Om utgångspunkten är känd och den gemensamma skillnaden kan hittas, kan seriens värde vid en viss punkt i framtiden beräknas och medelvärdet kan också bestämmas.