Tips för att lösa kvadratiska ekvationer

Varje algebrastudent på högre nivåer måste lära sig att lösa kvadratiska ekvationer. Dessa är en typ av polynomekvation som innehåller en effekt på 2 men ingen högre, och de har den allmänna formen:yxa​² + ​bx​ + ​c= 0. Du kan lösa dessa genom att använda den kvadratiske ekvationsformeln, genom att faktorisera eller genom att fylla i kvadraten.

TL; DR (för lång; Läste inte)

Leta först efter en faktorisering för att lösa ekvationen. Om det inte finns en annan änbkoefficienten är delbar med 2, slutför kvadraten. Om ingen av metoderna är enkla, använd den kvadratiske ekvationsformeln.

Faktorisering utnyttjar det faktum att den högra sidan av standardkvadratiska ekvationen är lika med noll. Det betyder att om du kan dela upp ekvationen i två termer inom parentes multiplicerad med varandra kan du räkna ut lösningarna genom att tänka på vad som skulle göra varje parentes lika med noll. För att ge ett konkret exempel:

Jämför detta med standardformuläret:

I exempleta​ = 1, ​b= 6 ochc= 9. Utmaningen med att faktorisera är att hitta två siffror som lägger ihop för att ge antalet ibhitta och multiplicera tillsammans för att få numret på plats förc​.

Så representerar siffrorna meddoche, du letar efter siffror som uppfyller:

Eller i det här fallet medb​ = 6:

Och

Eller i det här fallet medc​ = 9:

Fokusera på att hitta siffror som är faktorer avcoch lägg sedan i dem för att se om de är likab. När du har dina nummer, lägg dem i följande format:

I exemplet ovan, bådadocheär 3:

Om du multiplicerar parenteserna kommer du att få det ursprungliga uttrycket igen, och det här är bra praxis för att kontrollera din faktorisering. Du kan gå igenom den här processen (genom att multiplicera de första, inre, yttre och sedan sista delarna av parenteserna i tur och ordning - se Resurser för mer information) för att se det i omvänd ordning:

Faktorisering går effektivt igenom denna process i omvänd ordning, men det kan vara svårt att träna rätt sätt att faktorera den kvadratiska ekvationen, och den här metoden är inte idealisk för varje kvadratisk ekvation för detta anledning. Ofta måste du gissa på en faktorisering och sedan kontrollera den.

Problemet gör nu att något av uttrycken inom parentes blir lika med noll genom ditt val av värde förx. Om någon av parenteserna är lika med noll är hela ekvationen lika med noll och du har hittat en lösning. Titta på den sista etappen [(x​ + 3) (​x+ 3) = 0] och du ser att den enda gången parenteserna blir noll är omx= −3. I de flesta fall har kvadratiska ekvationer dock två lösningar.

Faktorisering är ännu mer utmanande omaär inte lika med en, men att fokusera på enkla fall är bättre först.

Att fylla i rutan hjälper dig att lösa kvadratiska ekvationer som inte enkelt kan faktoriseras. Denna metod kan fungera för alla kvadratiska ekvationer, men vissa ekvationer passar det mer än andra. Tillvägagångssättet innebär att göra uttrycket till ett perfekt kvadrat och lösa det. En generisk perfekt fyrkant expanderar så här:

För att lösa en kvadratisk ekvation genom att fylla i kvadraten, få uttrycket i formen till höger om ovanstående. Dela först numret ibplacera med 2 och kvadrera sedan resultatet. Så för ekvationen:

Koefficientenb= 8, såb÷ 2 = 4 och (b​ ÷ 2)² = 16.

Lägg till detta på båda sidor för att få:

Observera att det här formuläret matchar den perfekta fyrkantiga formen, medd= 4, så 2d= 8 ochd​² = 16. Detta innebär att:

Infoga detta i föregående ekvation för att få:

Lös nu ekvationen förx. Ta kvadratroten på båda sidor för att få:

Subtrahera 4 från båda sidor för att få:

Roten kan vara positiv eller negativ, och att ta den negativa roten ger:

Hitta den andra lösningen med den positiva roten:

Därför är den enda lösningen som inte är noll −8. Kontrollera detta med originaluttrycket för att bekräfta.

Kvadratisk ekvationsformel ser mer komplicerad ut än de andra metoderna, men den är den mest tillförlitliga metoden och du kan använda den i valfri kvadratisk ekvation. Ekvationen använder symbolerna från standardkvadratiska ekvationen:

Och säger att:

Sätt in lämpliga siffror på sina platser och arbeta igenom formeln för att lösa, kom ihåg att försöka både subtrahera och lägga till kvadratrottermen och notera båda svaren. För följande exempel:

Du hara​ = 1, ​b= 6 ochc= 5. Så formeln ger:

Att ta det positiva tecknet ger:

Och att ta det negativa tecknet ger:

Vilka är de två lösningarna för ekvationen.

Leta efter en faktorisering innan du försöker något annat. Om du kan upptäcka en är det här det snabbaste och enklaste sättet att lösa en kvadratisk ekvation. Kom ihåg att du letar efter två siffror som uppgår tillbkoefficient och multiplicera för att geckoefficient. För denna ekvation:

Du kan upptäcka att 2 + 3 = 5 och 2 × 3 = 6, så:

Ochx= −2 ellerx​ = −3.

Om du inte kan se en faktorisering, kontrollera ombkoefficienten är delbar med 2 utan att använda fraktioner. Om så är fallet är det troligen det enklaste sättet att lösa ekvationen genom att fylla i rutan.

Om ingen av metoderna verkar lämplig, använd formeln. Det här verkar som det svåraste tillvägagångssättet, men om du deltar i en tentamen eller på annat sätt pressas för tid kan det göra processen mycket mindre stressande och mycket snabbare.