I matematik är en sekvens vilken rad som helst som är ordnade i ökande eller minskande ordning. En sekvens blir en geometrisk sekvens när du kan få varje nummer genom att multiplicera det tidigare numret med en gemensam faktor. Till exempel serien 1, 2, 4, 8, 16... är en geometrisk sekvens med den gemensamma faktorn 2. Om du multiplicerar ett tal i serien med 2 får du nästa nummer. Däremot sekvensen 2, 3, 5, 8, 14, 22... är inte geometrisk eftersom det inte finns någon gemensam faktor mellan siffror. En geometrisk sekvens kan ha en bråkdelad gemensam faktor, i vilket fall varje successivt tal är mindre än det som föregick det. 1, 1/2, 1/4, 1/8... är ett exempel. Dess vanliga faktor är 1/2.
Det faktum att en geometrisk sekvens har en gemensam faktor gör att du kan göra två saker. Den första är att beräkna alla slumpmässiga element i sekvensen (som matematiker vill kalla "nelementet), och det andra är att hitta summan av den geometriska sekvensen upp tillnelement. När du summerar sekvensen genom att placera ett plustecken mellan varje par av termer, förvandlar du sekvensen till en geometrisk serie.
Hitta det nionde elementet i en geometrisk serie
I allmänhet kan du representera vilken geometrisk serie som helst på följande sätt:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
var "a"är den första termen i serien och"r"är den vanliga faktorn. För att kontrollera detta, överväga serien i vilkena= 1 ochr= 2. Du får 1 + 2 + 4 + 8 + 16... det fungerar!
Efter att ha fastställt detta är det nu möjligt att härleda en formel för den nionde termen i sekvensen (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Exponenten ärn- 1 snarare ännför att möjliggöra att den första termen i sekvensen skrivs somar0, vilket är lika med "a."
Kontrollera detta genom att beräkna den fjärde termen i exempelserien.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Beräkning av summan av en geometrisk sekvens
Om du vill summera en divergent sekvens, som är en med en gemensam ranson större än 1 eller mindre än -1, kan du bara göra det upp till ett begränsat antal termer. Det är dock möjligt att beräkna summan av en oändlig konvergerande sekvens, vilken är en med ett gemensamt förhållande mellan 1 och - 1.
För att utveckla den geometriska summan, börja med att överväga vad du gör. Du letar efter summan av följande tilläggsserier:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Varje term i serien ärarkochkgår från 0 tilln− 1. Formeln för summan av serien använder sigma-tecknet - ∑ - vilket innebär att du lägger till alla termer från (k= 0) till (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
För att kontrollera detta, överväg summan av de första 4 termerna i den geometriska serien som börjar med 1 och har en gemensam faktor 2. I ovanstående formel,a = 1, r= 2 ochn= 4. Genom att ansluta dessa värden får du:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
Detta är lätt att verifiera genom att själv lägga till numren i serien. Faktum är att när du behöver summan av en geometrisk serie är det vanligtvis lättare att lägga till siffrorna själv när det bara finns några få termer. Om serien har ett stort antal termer är det dock mycket lättare att använda formeln för geometrisk summa.
