Ibland är det nödvändigt att hitta en icke-nollvektor som, när den multipliceras med en kvadratmatris, ger oss tillbaka en multipel av vektorn. Denna icke-nollvektor kallas en "egenvektor." Eigenvektorer är inte bara intressanta för matematiker utan för andra inom yrken som fysik och teknik. För att beräkna dem måste du förstå matrisalgebra och determinanter.
Lär dig och förstå definitionen av en "egenvektor". Det finns för en n x n kvadratmatris A och även för a skalär egenvärde som kallas "lambda". Lambda representeras av den grekiska bokstaven, men här kommer vi att förkorta den till L. Om det finns en icke-nollvektor x där Ax = Lx kallas denna vektor x för "egenvärde för A."
Hitta matrisens egenvärden med hjälp av den karakteristiska ekvationen det (A - LI) = 0. "Det" står för determinanten och "I" är identitetsmatrisen.
Beräkna egenvektorn för varje egenvärde genom att hitta en egenspace E (L), som är nullrummet för den karakteristiska ekvationen. Icke-nollvektorerna av E (L) är egenvektorerna av A. Dessa hittas genom att ansluta egenvektorerna tillbaka till den karakteristiska matrisen och hitta en grund för A - LI = 0.
Beräkna egenvärdena med hjälp av den karakteristiska ekvationen. Det (A - LI) är (3 - L) (3 - L) --1 = L ^ 2 - 6L + 8 = 0, vilket är det karakteristiska polynomet. Att lösa detta algebraiskt ger oss L1 = 4 och L2 = 2, som är egenvärdena för vår matris.
Hitta egenvektorn för L = 4 genom att beräkna nollutrymmet. Gör detta genom att placera L1 = 4 i den karakteristiska matrisen och hitta grunden för A - 4I = 0. För att lösa detta hittar vi x - y = 0 eller x = y. Detta har bara en oberoende lösning eftersom de är lika, till exempel x = y = 1. Därför är v1 = (1,1) en egenvektor som spänner över egenutrymmet för L1 = 4.
Upprepa steg 6 för att hitta egenvektorn för L2 = 2. Vi hittar x + y = 0 eller x = --y. Detta har också en oberoende lösning, säg x = --1 och y = 1. Därför är v2 = (--1,1) en egenvektor som spänner över egenutrymmet för L2 = 2.