Enligt Euclid fortsätter en rak linje för alltid. När det finns mer än en rad i ett plan blir situationen mer intressant. Om två linjer aldrig skär varandra är linjerna parallella. Om två linjer skär varandra i rät vinkel - 90 grader - sägs linjerna vara vinkelräta. Nyckeln till att förstå hur linjer relaterar till varandra är begreppet lutning, vilket är förhållandet som alla linjer har till bakgrundsplanet.
En horisontell linje har en lutning på noll. Om linjen är vertikal sägs lutningen vara odefinierad. För alla andra linjer finns lutningen genom att rita (eller föreställa sig) en liten höger triangel bildad av korta vertikala och horisontella linjer där ett segment av linjen som testas är hypotenusen. Längden på den vertikala linjen dividerad med längden på den horisontella linjen är lutningen för linjen i fråga.
Parallella linjer har samma lutning. Du behöver inte rita linjerna och konstruera den definierande triangeln för att hitta lutningen. Om linjens ekvation är i rätt form kan du läsa lutningen direkt från formeln. Lutningsformen är y = mx + b. Manipulera din formel tills den är i denna form och "m" är lutningen. Till exempel, om din linje har ekvationen Ax - By = C, sätter en liten algebraisk manipulation den i motsvarande form y = (A / B) x - C / B, så lutningen på denna linje är A / B.
Lutningarna på vinkelräta linjer har ett specifikt förhållande. Om lutningen på linje nr 1 är m kommer lutningen på en linje vinkelrätt mot den att ha lutningen -1 / m. Lutningarna på vinkelräta linjer är negativa ömsesidiga varandra. Om lutningen för en viss linje är 3, kommer alla linjer som är vinkelräta mot linjen lutning -1/3.
Att känna till sluttningar, parallella linjer och vinkelräta linjer gör att du kan konstruera vilken som helst linje genom vilken punkt som helst. Tänk till exempel på problemet med att hitta ekvationen för en linje som går genom punkten (3, 4) och är vinkelrät mot linjen 3x + 4y = 5. Genom att manipulera ekvationen för den kända linjen får du y = - (3/4) x + 5/4. Lutningen på denna linje är -3/4 och linjens lutning vinkelrätt mot denna linje är 4/3. De vinkelräta linjerna ser ut så här: y = 4 / 3x + b. För raden som går igenom (3, 4) kan du ansluta siffrorna så här: 4 = 4/3 (3) + b, vilket betyder att b = 0. Ekvationen för linjen som går igenom (3, 4) och är vinkelrät mot linjen 3x + 4y = 5 är y = 4 / 3x eller 4x - 3y = 0.