Du kan stöta på situationer där du har en tredimensionell solid form och behöver räkna ut område av ett imaginärt plan infört genom formen och med gränser definierade av gränserna för fast.
Om du till exempel hade ett cylindriskt rör under ditt hem som var 20 meter (m) långt och 0,15 m över, kanske du vill veta tvärsnittsarea av röret.
Tvärsnitt kan vara vinkelräta mot orienteringen av fasta axlar om det finns någon. När det gäller en sfär kommer varje skärplan genom sfären oavsett orientering att resultera i en skiva av någon storlek.
Tvärsnittsarean beror på formen på det fasta ämnet som bestämmer tvärsnittets gränser och vinkeln mellan solidets symmetriaxel (om sådan finns) och planet som skapar tvärsnitt.
Tvärsnittsarea av ett rektangulärt fast ämne
Volymen på varje rektangulärt fast ämne, inklusive en kub, är ytan på dess bas (längd gånger bredd) multiplicerat med dess höjd: V = l × b × h.
Därför, om ett tvärsnitt är parallellt med toppen eller botten av det fasta materialet, är tvärsnittsarean l × b. Om skärplanet är parallellt med en av de två sätter sidorna, ges tvärsnittsarean istället av l × h eller b × h.
Om tvärsnittet inte är vinkelrätt mot någon symmetriaxel kan den skapade formen vara en triangel (om den placeras genom ett fast hörn) eller till och med en sexkant.
Exempel: Beräkna tvärsnittsarean för ett plan vinkelrätt mot kubens botten med en volym på 27 m3.
-
Eftersom l = w = h för en kub måste en kant av kuben vara 3 m lång (sedan 3
× 3
× 3 = 27). Ett tvärsnitt av den beskrivna typen skulle därför vara en kvadrat 3 m på en sida, vilket ger en yta på 9 m2.
Tvärsnitt av en cylinder
En cylinder är ett fast ämne som skapas genom att en cirkel sträcker sig genom rymden vinkelrätt mot dess diameter. Området för en cirkel ges av formeln πr2, där r är radien. Det är därför vettigt att volymen på en cylinder skulle vara området för en av de cirklar som bildar dess bas.
Om tvärsnittet är parallellt med symmetriaxeln är tvärsnittsarean helt enkelt en cirkel med ett område av πr2. Om skärplanet sätts in i en annan vinkel är den genererade formen en ellips. Området använder motsvarande formel: πab (där a är det längsta avståndet från centrum av ellipsen till kanten, och b är det kortaste).
Exempel: Vad är rörets tvärsnittsarea under ditt hem som beskrivs i inledningen?
-
Det här är bara πr2 = π (0,15 m)2=
π (0,0225) m2 = 0,071 m2. Observera att rörets längd är irrelevant för denna beräkning.
Tvärsnitt av en sfär
Varje teoretiskt plan som placeras genom en sfär kommer att resultera i en cirkel (tänk på detta några ögonblick). Om du vet antingen diametern eller omkretsen av cirkeln som tvärsnittet bildar kan du använda förhållandena C = 2πr och A = πr2 för att få en lösning.
Exempel: Ett plan förs grovt in genom jorden mycket nära nordpolen och tar bort en del av planeten 10 m runt. Vad är tvärsnittsarean för denna kalla jordskiva?
- Eftersom C = 2πr = 10 m, r = 10 / 2π = 1,59 m; A = πr2= π(1.59)2= 7,96 m2.