Trigonometri kan kännas som ett ganska abstrakt ämne. Arcane-termer som "synd" och "cos" verkar bara inte motsvara något i verkligheten, och det är svårt att få tag på dem som begrepp. Enhetscirkeln hjälper väsentligen till detta och ger en enkel förklaring av vad siffrorna du får är när du tar sinus, cosinus eller tangent i en vinkel. För alla studenter inom naturvetenskap eller matematik kan förståelsen av enhetscirkeln verkligen cementera din förståelse för trigonometri och hur du använder funktionerna.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En enhetscirkel har en radie på en. Föreställ dig enxykoordinatsystem som börjar i mitten av denna cirkel. Punktvinklarna mäts från är varx= 1 ochy= 0, på höger sida av cirkeln. Vinklarna ökar när du rör dig moturs.
Med hjälp av denna ram ochyföry-koordinera ochxförx-koordinat för punkten på cirkeln:
syndθ = y
cosθ = x
Och följaktligen:
solbrännaθ = y / x
Vad är enhetscirkeln?
En ”enhetscirkel” har en radie på 1. Med andra ord är avståndet från cirkelns centrum till någon del av kanten alltid 1. Måttenheten spelar ingen roll, för det viktigaste med enhetscirkeln är att det gör många ekvationer och beräkningar mycket enklare.
Det fungerar också som en användbar grund för att titta på definitionerna av vinklar. Tänk dig att mitten av cirkeln sitter i mitten av ett koordinatsystem med enx-axeln går horisontellt och eny-axeln går lodrätt. Cirkeln korsarx-axel vidx = 1, y= 0. Forskare och matematiker definierar vinkeln från den punkten som rör sig moturs. Så poängenx =1, y= 0 på cirkeln är i en vinkel på 0 °.
Definitionerna av Sin and Cos With the Unit Circle
De vanliga definitionerna av synd, cos och tan som ges till studenter relaterar till trianglar. De säger:
\ sin θ = \ frac {\ text {mittemot}} {\ text {hypotenus}} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {intilliggande}} {\ text {hypotenus}} \\ \, \\ \ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Den "motsatta" avser längden på sidan av triangeln mittemot vinkeln, "intilliggande" avser den längden på sidan bredvid vinkeln och "hypotenuse" avser längden på den diagonala sidan av triangel.
Föreställ dig att skapa en triangel så att hypotenusen alltid var enhetens cirkelradie, med ett hörn vid cirkelns kant och ett i centrum. Detta betyder att hypotenus = 1 i ekvationerna ovan, så de två första blir:
\ sin θ = \ frac {\ text {mittemot}} {1} = \ text {mittemot} \\ \, \\ \ cos θ = \ frac {\ text {intilliggande}} {1} = \ text {intilliggande} \\
Om du gör vinkeln i fråga till den i mitten av cirkeln är motsatsen bara deny-koordinat och intilliggande är barax-koordinat för punkten på cirkeln som berör triangeln. Med andra ord, synden returnerary-koordinera på enhetscirkeln (med hjälp av koordinater som börjar i mitten) för en given vinkel och cos returnerarx-samordna. Det är därför cos (0) = 1 och sin (0) = 0, eftersom det vid denna punkt är koordinaterna. På samma sätt är cos (90) = 0 och sin (90) = 1, för det här är poängen medx= 0 ochy= 1. I form av ekvation:
\ sin θ = y \\ \ cos θ = x
Negativa vinklar är också lätta att förstå utifrån detta. De negativa vinklarna (mätt medurs från startpunkten) har sammaxkoordinat som motsvarande positiv vinkel, så:
\ cos -θ = \ cos θ
Men deny-koordinatbrytare, vilket betyder det
\ sin -θ = - \ sin θ
Definitionen av solbränna med enhetscirkeln
Definitionen av solbränna som ges ovan är:
\ tan θ = \ frac {\ sin θ} {\ cos θ}
Men med enhetscirkeldefinitionerna av synd och cos kan du se att detta motsvarar:
\ tan θ = \ frac {\ text {mittemot}} {\ text {intilliggande}}
Eller tänka i termer av koordinater:
\ tan θ = \ frac {y} {x}
Detta förklarar varför solbränna är odefinierad i 90 ° eller -270 ° och 270 ° eller -90 ° (därx= 0), eftersom du inte kan dela med noll.
Grafiska trigonometriska funktioner
Att plotta sin eller cos blir enklare när du tänker på enhetscirkeln. Dex-koordinaten varierar smidigt när du rör dig runt cirkeln, börjar vid 1 och minskar till ett minimum av -1 vid 180 ° och sedan ökar på samma sätt. Sinfunktionen gör samma sak, men den ökar först till ett maximivärde på 1 vid 90 ° innan det följer samma mönster. De två funktionerna sägs vara 90 ° ur "fas" med varandra.
Grafbrunning kräver delningyförbix, och så är det mer komplicerat att rita, och har också punkter där det är odefinierat.