I geometri är en radian en enhet som används för att mäta vinklar. Radian kommer från längden på cirkelns radie. Segmentet av en cirkels omkrets som motsvarar vinkeln med två radie-linjer gör en båge. Vinkeln som denna båge skapar, när du drar linjer från dess start- och slutpunkter till cirkelns centrum, är en radian. Även om radian kanske verkar udda och komplicerad till en början förenklar det ekvationer i matematik och fysik.
TL; DR (för lång; Läste inte)
I geometri är en radian en enhet baserad på cirkeln och används för att mäta vinklar. Det underlättar beräkningar i avancerade typer av matematik.
Grader vs. Radianer
Utanför fysik och avancerad matematik är grader vanligtvis mer välbekanta enheter för vinkelmätningar. En cirkel har till exempel 360 grader, en triangel har 180 och en rät vinkel har 90. Däremot har en hel cirkel 2 × π (pi) radianer, en triangel har π radianer och en rät vinkel är π / 2 radianer. En cirkel har ett helt antal grader, medan i radianer är värdet ett irrationellt tal, så radianer vid första rodnad kan tyckas konstiga. Å andra sidan kan du uttrycka bråkdelar av en grad som ett decimal, eller som de minuter, sekunder och decimaler som du också använder med tiden, så graden har sina egna problem.
Lättare och hårdare
Gradmätningar är vanligtvis lättare att hantera än radianer för grundläggande aritmetik och trigonometri; du behöver sällan hantera fraktioner av π när du uttrycker en vinkel. Men för kalkyl och annan avancerad matematik visar det sig att radianer är lättare. Till exempel är effektserien för sinusfunktionen i radianer följande:
\ sin (x) = x - \ frac {x ^ 3} {3!} + \ frac {x ^ 5} {5!} - \ frac {x ^ 7} {7!} + \ frac {x ^ 9 } {9!} + ...
I grader ser funktionen ut så här:
\ sin (x) = (π × x / 180) - \ frac {(π × x / 180) ^ 3} {3!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 5} {5!} - \ frac {(π × x / 180) ^ 7} {7!} + \ frac {(π × x / 180) ^ 9} {9!} + ...
Observera att du måste upprepa ”π × för den här serienx/ 180 ”för varje term - mycket extra skrivning och beräkning jämfört med det snyggare, mer kompakt motsvarande i radianer. Radian kommer från den naturliga geometrin i en cirkel snarare än en uppdelning med ett godtyckligt tal, som grader gör. Eftersom radianer gör många beräkningar enklare, tänker matematiker enheten som mer ”naturlig” än grader.
Användningar för radianer
Förutom kraftserier som exempel på sinusfunktionen ser du radianer i matematik som involverar kalkyl och differentialekvationer. Till exempel, när du använder radianer, är derivatet av sinusfunktionen, sin (x), är helt enkelt cosinus, cos (x). I grader är dock derivatet av synd (x) är det mer besvärliga (π ÷ 180) × cos (x). När du utvecklas i matematik blir problemen svårare och lösningarna kräver många fler beräkningsrader och algebra. Radianer sparar en massa onödiga extra skrivningar och minskar risken för misstag.
I fysik använder formler för vågfrekvensen och föremålens rotationshastighet en liten omega, "ω, "Som en bekväm förkortning för" 2 × π × radianer per sekund. "
Konvertera grader till radianer
Formlerna för att konvertera grader till radianer och tillbaka igen är enkla. För att konvertera vinklar i grader till radianer, multiplicera vinkeln med π och dela sedan med 180. Till exempel har en cirkel 360 grader. Multiplicerat med π blir det 360π; Dela sedan med 180 så får du 2π radianer. För att konvertera från radianer till grader, multiplicera med 180 och dela sedan med π. Konvertera till exempel en rät vinkel, π ÷ 2 radianer. Multiplicera med 180 för att få 90π och dela sedan med π för att få resultatet, 90 grader.