När du väl har börjat göra trigonometri och kalkyl kan du stöta på uttryck som synd (2θ), där du blir ombedd att hitta värdet avθ. Att spela försök och fel med diagram eller en kalkylator för att hitta svaret skulle sträcka sig från en utdragen mardröm till helt omöjlig. Lyckligtvis är dubbelvinkelidentiteterna här för att hjälpa till. Dessa är speciella fall av vad som kallas en sammansatt formel, som bryter formernas funktioner (A + B) eller (A – B) ner i funktioner av justAochB.
The Double-Angle Identities for Sine
Det finns tre dubbelvinkelidentiteter, var och en för sinus-, cosinus- och tangentfunktionerna. Men sinus- och cosinusidentiteterna kan skrivas på flera sätt. Här är de två sätten att skriva den dubbla vinkelidentiteten för sinusfunktionen:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ \\ \ sin (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dubbelvinkelidentiteterna för Cosine
Det finns ännu fler sätt att skriva dubbelvinkelidentiteten för cosinus:
\ cos (2θ) = \ cos ^ 2θ - \ sin ^ 2θ \\ \ cos (2θ) = 2 \ cos ^ 2θ - 1 \\ \ cos (2θ) = 1-2 \ sin ^ 2θ \\ \ cos ( 2θ) = \ frac {1 - \ tan ^ 2θ} {1 + \ tan ^ 2θ}
Dubbelvinkelidentiteten för Tangent
Barmhärtigt finns det bara ett sätt att skriva den dubbla vinkelidentiteten för tangentfunktionen:
\ tan (2θ) = \ frac {2 \ tanθ} {1 - \ tan ^ 2θ}
Använda dubbelvinklade identiteter
Tänk dig att du står inför en rätt triangel där du vet längden på sidorna, men inte måttet på dess vinklar. Du har blivit ombedd att hittaθ, varθär en av triangelns vinklar. Om triangelns hypotenus mäter 10 enheter, mäter sidan intill din vinkel 6 enheter och sidan mittemot vinkeln mäter 8 enheter, det spelar ingen roll att du inte vet måttet påθ; du kan använda dina kunskaper om sinus och cosinus, plus en av dubbelvinkelformlerna, för att hitta svaret.
När du väl har valt en vinkel kan du definiera sinus som förhållandet mellan motsatt sida över hypotenusen och cosinus som förhållandet mellan intilliggande sida över hypotenusen. Så i exemplet som just ges har du:
\ sinθ = \ frac {8} {10} \\ \, \\ \ cosθ = \ frac {6} {10}
Du hittar dessa två uttryck eftersom de är de viktigaste byggstenarna för dubbelvinkelformlerna.
Eftersom det finns så många dubbla vinkelformler att välja mellan kan du välja den som ser lättare ut att beräkna och returnerar den typ av information du behöver. I det här fallet, för att du känner syndθoch cosθredan är det klart att det mest bekväma uttrycket är:
\ sin (2θ) = 2 \ sinθ \ cosθ
Du känner redan värdena för sinθ och cosθ, så ersätt dem med ekvationen:
\ sin (2θ) = 2 × \ frac {8} {10} × \ frac {6} {10}
När du har förenklat har du:
\ sin (2θ) = \ frac {96} {100}
De flesta trigonometriska diagram anges i decimaler, så arbeta nästa del som representeras av bråk för att konvertera den till decimalform. Nu har du:
\ sin (2θ) = 0,96
Slutligen hitta den inversa sinus eller bågsine på 0,96, som skrivs som synd −1(0.96). Eller med andra ord, använd min räknare eller ett diagram för att ungefärligen vinkla som har en sinus på 0,96. Som det visar sig är det nästan exakt lika med 73,7 grader. Så 2θ= 73,7 grader.
Dela varje sida av ekvationen med 2. Detta ger dig:
θ = 36,85 \ text {grader}