En periodisk funktion är en funktion som upprepar sina värden med jämna mellanrum eller "perioder". Tänk på det som ett hjärtslag eller den underliggande rytmen i en sång: Det upprepar samma aktivitet med en stadig takt. Grafen för en periodisk funktion ser ut som att ett enda mönster upprepas om och om igen.
TL; DR (för lång; Läste inte)
En periodisk funktion upprepar sina värden med jämna mellanrum eller "perioder".
Typer av periodiska funktioner
De mest kända periodiska funktionerna är trigonometriska funktioner: sinus, cosinus, tangent, cotangent, secant, cosecant, etc. Andra exempel på periodiska funktioner i naturen inkluderar ljusvågor, ljudvågor och månfaser. Var och en av dessa, när de är ritade på koordinatplanet, gör ett upprepande mönster på samma intervall, vilket gör det enkelt att förutsäga.
Perioden för en periodisk funktion är intervallet mellan två "matchande" punkter i diagrammet. Med andra ord är det avståndet längsx-axlar att funktionen måste resa innan den börjar upprepa sitt mönster. De grundläggande sinus- och cosinusfunktionerna har en period av 2π, medan tangenten har en period av π.
Ett annat sätt att förstå period och upprepning av trig-funktioner är att tänka på dem i termer av enhetscirkeln. På enhetscirkeln går värdena runt och runt cirkeln när de ökar i storlek. Den repetitiva rörelsen är samma idé som återspeglas i en stadig period av en periodisk funktion. Och för sinus och cosinus måste du göra en fullständig väg runt cirkeln (2π) innan värdena börjar upprepas.
Ekvation för en periodisk funktion
En periodisk funktion kan också definieras som en ekvation med denna form:
f (x + nP) = f (x)
VarPär perioden (en icke-noll konstant) ochnär ett positivt heltal.
Du kan till exempel skriva sinusfunktionen på detta sätt:
\ sin (x + 2π) = \ sin (x)
n= 1 i detta fall och perioden,P, för en sinusfunktion är 2π.
Testa det genom att testa ett par värden förx, eller titta på diagrammet: Välj någonx-värde, flytta sedan 2π i båda riktningarna längsx-axel; dey-värde borde vara detsamma.
Prova nu närn = 2:
\ sin (x + (2 × 2π)) = \ sin (x) \\ \ sin (x + 4π) = \ sin (x)
Beräkna för olika värden påx: x = 0, x = π, x= π / 2, eller kontrollera det i diagrammet.
Cotangentfunktionen följer samma regler, men dess period är π radianer istället för 2π radianer, så dess graf och dess ekvation ser ut så här:
\ barnsäng (x + nπ) = \ barnsäng (x)
Lägg märke till att tangent- och cotangentfunktioner är periodiska, men de är inte kontinuerliga: Det finns "brott" i deras grafer.