En liksidig triangel är en triangel med alla tre sidor av lika längd. Ytan på en tvådimensionell polygon, såsom en triangel, är den totala ytan som sidorna av polygonen innehåller. De tre vinklarna i en liksidig triangel är också lika stora i euklidisk geometri. Eftersom det totala måttet på vinklarna i en euklidisk triangel är 180 grader, betyder detta att vinklarna i en liksidig triangel alla mäter 60 grader. Området för en liksidig triangel kan beräknas när längden på en av dess sidor är känd.
Bestäm området för en triangel när basen och höjden är kända. Ta två identiska trianglar med bas s och höjd h. Vi kan alltid bilda ett parallellogram av bas s och höjd h med dessa två trianglar. Eftersom arean för ett parallellogram är s x h är arean A för en triangel därför ½ s x h.
Forma den liksidiga triangeln i två högra trianglar med linjesegmentet h. Hypotenusen för en av dessa högra trianglar längd s, ett av benen har längd h och det andra benet har längd s / 2.
Uttryck h i termer av s. Med hjälp av den högra triangeln som bildades i steg 2 vet vi att s ^ 2 = (s / 2) ^ 2 + h ^ 2 med Pythagoras formel. Därför är h ^ 2 = s ^ 2 - (s / 2) ^ 2 = s ^ 2 - s ^ 2/4 = 3s ^ 2/4, och vi har nu h = (3 ^ 1/2) s / 2.
Ersätt värdet på h som erhölls i steg 3 i formeln för en triangels yta som erhölls i steg 1. Eftersom A = ½ sxh och h = (3 ^ 1/2) s / 2 har vi nu A = ½ s (3 ^ 1/2) s / 2 = (3 ^ 1/2) (s ^ 2) / 4.