I geometri är en åttkant en polygon med åtta sidor. En vanlig åttkant har åtta lika sidor och lika vinklar. Den vanliga åttkanten känns ofta igen från stoppskyltar. En oktaeder är en åtta-sidig polyeder. En vanlig oktaeder har åtta trianglar med lika långa kanter. Det är faktiskt två fyrkantiga pyramider som möts vid deras baser.
Octagon Area Formula
Formeln för området för en vanlig åttkant med sidans längd "a" är 2 (1 + sqrt (2)) a ^ 2, där "sqrt" anger kvadratroten.
Härledning
En åttkant kan ses som fyra rektanglar, en kvadrat i mitten och fyra likbeniga trianglar i hörnen.
Kvadraten är av yta a ^ 2.
Trianglarna har sidorna a, a / sqrt (2) och a / sqrt (2), av Pythagoras sats. Därför har var och en ett område av a ^ 2/4.
Rektanglarna är av område a * a / sqrt (2).
Summan av dessa 9 områden är 2a ^ 2 (1 + sqrt (2)).
Oktahedrons volymformel
Formeln för volymen för en vanlig oktaeder av sidorna "a" är en ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Härledning
Området för en fyrsidig pyramid är basområdet * höjd / 3. Området för en vanlig åttkant är därför 2 * bas * höjd / 3.
Bas = a ^ 2 triviellt.
Välj två intilliggande hörn, säg "F" och "C." "O" är i centrum. FOC är en jämn höger triangel med bas "a", så OC och OF har längden a / sqrt (2) av Pythagoras sats. Så höjd = a / sqrt (2).
Så volymen för en vanlig oktaeder är 2 * (a ^ 2) * a / sqrt (2) / 3 = a ^ 3 * sqrt (2) / 3.
Ytarea
Den vanliga oktaederns yta är området för en liksidig triangel av sidan "a" gånger 8 ansikten.
För att använda Pythagoras teorem, släpp en linje från toppen till basen. Detta skapar två högra trianglar, med hypotenusen längd "a" och en sidolängd "a / 2." Därför måste den tredje sidan vara sqrt [a ^ 2 - a ^ 2/4] = sqrt (3) a / 2. Så ytan av en liksidig triangel är höjd * bas / 2 = sqrt (3) a / 2 * a / 2 = sqrt (3) a ^ 2/4.
Med åtta sidor är ytan för en vanlig oktaeder 2 * sqrt (3) * a ^ 2.
