Debåglängdav en cirkel är avståndet längs utsidan av den cirkeln mellan två angivna punkter. Om du skulle gå en fjärdedel av vägen runt en stor cirkel och du visste cirkelns omkrets, skulle båglängden på det avsnitt du gick helt enkelt vara cirkelns omkrets, 2πr, dividerat med fyra. Det linjära avståndet över cirkeln mellan dessa punkter kallas under tiden ett ackord.
Om du vet måttet på den centrala vinkelnθ, som är vinkeln mellan linjerna som kommer från cirkelns centrum och ansluter till bågens ändar, kan du enkelt beräkna båglängden:
L = \ frac {θ} {360} × 2πr
Båglängden utan vinkel
Ibland är du dock inte givenθ. Men om du vet längden på det associerade ackordetckan du beräkna båglängden även utan denna information med följande formel:
c = 2r \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
Stegen nedan antar en cirkel med en radie på 5 meter och ett ackord på 2 meter.
Lös ackordekvationen förθ
Dela varje sida med 2r(vilket är lika med cirkelns diameter). Detta ger
\ frac {c} {2r} = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
I detta exempel
\ frac {c} {2r} = \ frac {2} {2 × 5} = 0,2
Hitta den omvända synden av (θ/2)
Eftersom du nu har
0,2 = \ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg)
du måste hitta den vinkel som ger detta sinusvärde.
Använd din miniräknares ARCSIN-funktion, ofta märkt SIN-1, för att göra detta, eller hänvisa också till Rapid Tables-kalkylatorn (se Resurser).
\ sin ^ {- 1} (0,2) = 11,54 = \ frac {θ} {2} \\ \ antyder θ = 23,08
Lös för båglängden
Återgår till ekvationen
L = \ frac {θ} {360} × 2πr
mata in kända värden:
L = \ frac {23.08} {360} × 2π × 5 \ text {meter} \\ \, \\ = 0.0641 × 31.42 = 2.014 \ text {meter}
Observera att för relativt korta båglängder kommer ackordlängden att vara mycket nära båglängden, som en visuell inspektion antyder.