Корени полинома називају се и његове нуле, јер су корениИксвредности при којима је функција једнака нули. Што се тиче стварног проналажења корена, на располагању вам је више техника; факторинг је метода коју ћете најчешће користити, мада и графикони могу бити корисни.
Колико корена?
Испитајте члан полинома највишег степена - односно појам са највећим експонентом. Тај експонент је колико ће корена имати полином. Дакле, ако је највећи експонент у вашем полиному 2, имаће два корена; ако је највећи експонент 3, имаће три корена; и тако даље.
Упозорења
-
Постоји квака: Корени полинома могу бити стварни или измишљени. „Прави“ корени су чланови скупа познатих као стварни бројеви, што је у овом тренутку ваше математичке каријере сваки број са којим сте навикли да се бавите. Овладавање замишљеним бројевима је сасвим друга тема, па за сада само упамтите три ствари:
- „Имагинарни“ корени се појављују када имате квадратни корен негативног броја. На пример, √ (-9).
- Замишљени корени увек долазе у паровима.
- Корени полинома могу бити стварни или имагинарни. Дакле, ако имате полином 5. степена, он може имати пет стварних корена, можда три стварна и два замишљена корена итд.
Пронађи корене факторингом: Пример 1
Најсвестранији начин проналажења корена је факторисање вашег полинома што је више могуће, а затим постављање сваког члана на нулу. Ово има много више смисла када прочитате неколико примера. Размотримо једноставни полиномИкс2 – 4Икс:
Кратки преглед показује да можете узети у обзирИксиз оба члана полинома, што вам даје:
к (к - 4)
Подесите сваки појам на нулу. То значи решавање две једначине:
к = 0
је први појам постављен на нулу, и
к - 4 = 0
је други појам постављен на нулу.
Већ имате решење за први термин. АкоИкс= 0, тада је цео израз једнак нули. ТакоИкс= 0 је један од корена или нуле полинома.
Сада размотрите други термин и решите заИкс. Ако додате 4 на обе стране, имаћете:
к - 4 + 4 = 0 + 4
што поједностављује на:
к = 4
Па акоИкс= 4 онда је други фактор једнак нули, што значи да је и цео полином једнак нули.
Будући да је првобитни полином био другог степена (највећи експонент био је два), знате да за овај полином постоје само два могућа корена. Већ сте их пронашли, па их све што треба да урадите је да их наведете:
к = 0, к = 4
Пронађи корене факторингом: Пример 2
Ево још једног примера како пронаћи корене факторингом, користећи успутну модну алгебру. Размотримо полиномИкс4 – 16. Брзи поглед на његове експоненте показује вам да би за овај полином требало да постоје четири корена; сад је време да их нађемо.
Да ли сте приметили да се овај полином може преписати као разлика квадрата? Дакле, уместоИкс4 - 16, имате:
(к ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Који, користећи формулу за разлику квадрата, рачунају на следеће:
(к ^ 2 - 4) (к ^ 2 + 4)
Први члан је, опет, разлика квадрата. Дакле, иако не можете даље да рачунате појам на десној страни, можете да додате фактор на леви још један корак:
(к - 2) (к + 2) (к ^ 2 + 4)
Сада је време да пронађемо нуле. Брзо постаје јасно да акоИкс= 2, први фактор ће бити једнак нули, а самим тим цео израз биће једнак нули.
Слично томе, акоИкс= −2, други фактор ће бити једнак нули, а тиме и цео израз.
ТакоИкс= 2 иИкс= −2 су обе нуле или корени овог полинома.
Али шта је са тим последњим мандатом? Будући да има експонент „2“, требало би да има два корена. Али овај израз не можете рачунати на стварне бројеве на које сте навикли. Морали бисте да користите врло напредни математички концепт који се назива имагинарни бројеви или, ако желите, сложени бројеви. То је далеко изван оквира ваше тренутне математичке праксе, па је за сада довољно напоменути да имате два стварна корена (2 и -2) и два замишљена корена која ћете оставити недефинисанима.
Пронађи корене графичким приказом
Корене такође можете пронаћи, или бар проценити, графичким приказом. Сваки корен представља место где график функције прелазиИксос. Дакле, ако нацртате линију, а затим забележитеИкскоординате где линија прелазиИксос, можете уметнути процењенуИксвредности тих бодова у вашој једначини и проверите да ли сте их добили тачно.
Размотримо први пример за полином који сте радилиИкс2 – 4Икс. Ако га пажљиво извучете, видећете да линија прелазиИксос приИкс= 0 иИкс= 4. Ако сваку од ових вредности унесете у оригиналну једначину, добићете:
0^2 - 4(0) = 0
такоИкс= 0 је била ваљана нула или корен за овај полином.
4^2 - 4(4) = 0
такоИкс= 4 је такође важећа нула или корен за овај полином. А пошто је полином био степена 2, знате да можете престати да пазите након проналаска два корена.