Једна од важних операција коју радите у рачунању је проналазак деривата. Извод функције се назива и брзина промене те функције. На пример, ако је к (т) положај аутомобила у било ком тренутку т, тада је извод к, који се записује дк / дт, брзина аутомобила. Такође, извод се може визуализовати као нагиб праве која се дотиче графика функције. На теоријском нивоу, математичари тако проналазе деривате. У пракси математичари користе скупове основних правила и табеле претраживања.
Дериват као нагиб
Нагиб линије између две тачке је пораст, или разлика у вредностима подељеним са трчањем, или разлика у х вредностима. Нагиб функције и (к) за одређену вредност к дефинисан је као нагиб линије која је тангента на функцију у тачки [к, и (к)]. Да бисте израчунали нагиб, конструишете линију између тачке [к, и (к)] и оближње тачке [к + х, и (к + х)], где је х врло мали број. За ову линију, извођење или промена вредности к износи х, а пораст или промена вредности и је и (к + х) - и (к). Сходно томе, нагиб и (к) у тачки [к, и (к)] приближно је једнак [и (к + х) - и (к)] / [(к + х) - к] = [и ( к + х) - и (к)] / х. Да бисте тачно добили нагиб, израчунајте вредност нагиба како х постаје све мањи и мањи, до „границе“ где иде на нулу. Овако израчунати нагиб је изведеница од и (к), која се записује као и ’(к) или ди / дк.
Дериват функције снаге
Можете користити методу нагиба / ограничења да бисте израчунали изводе функција где је и једнако к са степеном а, или и (к) = к ^ а. На пример, ако је и једнако к коцкано, и (к) = к ^ 3, тада је ди / дк граница јер х иде на нулу од [(к + х) ^ 3 - к ^ 3] / х. Проширивањем (к + х) ^ 3 добија се [к ^ 3 + 3к ^ 2х + 3кх ^ 2 + х ^ 3 - к ^ 3] / х, што се смањује на 3к ^ 2 + 3кх ^ 2 + х ^ 2 након што поделите од х. У ограничењу како х иде на нулу, сви чланови који имају х у себи такође иду на нулу. Дакле, и ’(к) = ди / дк = 3к ^ 2. То можете учинити за вредности које нису 3, и уопште, можете показати да је д / дк (к ^ а) = (а - 1) к ^ (а-1).
Дериват из Повер серије
Многе функције се могу записати као оно што се назива редом снаге, што је збир бесконачног броја чланова сваки је облика Ц (н) к ^ н, где је к променљива, н је цео број, а Ц (н) је одређени број за сваку вредност н. На пример, ред снаге за синусну функцију је Син (к) = к - к ^ 3/6 + к ^ 5/120 - к ^ 7/5040 +..., где „...” значи изрази који се настављају даље до бесконачности. Ако знате ред потенција за функцију, можете да користите извод снаге к ^ н за израчунавање извода функције. На пример, дериват Син (к) једнак је 1 - к ^ 2/2 + к ^ 4/24 - к ^ 6/720 +..., што је случајно ред потенција за Цос (к).
Деривати из табела
Изводи основних функција као што су потенцијали попут к ^ а, експоненцијалне функције, лог функције и триг функције налазе се помоћу методе нагиба / ограничења, методе низова степена или других метода. Ови деривати су затим наведени у табелама. На пример, можете потражити да је дериват Син (к) Цос (к). Када су сложене функције комбинација основних функција, потребна су вам посебна правила као што су правило ланца и правило производа, која су такође дата у табелама. На пример, користите ланчано правило да бисте утврдили да је дериват Син (к ^ 2) 2кЦос (к ^ 2). Користите правило производа да бисте утврдили да је дериват кСин (к) кЦос (к) + Син (к). Користећи табеле и једноставна правила, можете пронаћи извод било које функције. Али када је функција изузетно сложена, научници понекад прибегавају рачунарским програмима за помоћ.