Једначина равни у тродимензионалном простору може се написати алгебарским записом као ак + би + цз = д, при чему је најмање један од константе реалног броја "а," "б" и "ц" не смеју бити једнаке нули, а "к", "и" и "з" представљају осе тродимензионалних авион. Ако су дате три тачке, можете одредити раван помоћу векторских унакрсних производа. Вектор је линија у простору. Унакрсни производ је множење два вектора.
Однеси три поена у авион. Означите их са "А", "Б" и "Ц." На пример, претпоставимо да су ове тачке А = (3, 1, 1); Б = (1, 4, 2); и Ц = (1, 3, 4).
Нађите два различита вектора у равни. У примеру изаберите векторе АБ и АЦ. Вектор АБ иде из тачке-А у тачку-Б, а вектор АЦ иде из тачке-А у тачку-Ц. Дакле, одузмите сваку координату у тачки-А од сваке координате у тачки-Б да бисте добили вектор АБ: (-2, 3, 1). Слично томе, вектор АЦ је тачка-Ц минус тачка-А или (-2, 2, 3).
Израчунајте унакрсни умножак два вектора да бисте добили нови вектор, који је нормалан (или окомит или правокотан) на сваки од два вектора, а такође и на раван. Унакрсни производ два вектора, (а1, а2, а3) и (б1, б2, б3), дат је са Н = и (а2б3 - а3б2) + ј (а3б1 - а1б3) + к (а1б2 - а2б1). У примеру, унакрсни производ, Н, АБ и АЦ је и [(3 к 3) - (1 к 2)] + ј [(1 к -2) - (-2 к 3)] + к [( -2 к 2) - (3к - 2)], што поједностављује на Н = 7и + 4ј + 2к. Имајте на уму да се „и“, „ј“ и „к“ користе за представљање векторских координата.
Извести једначину равни. Једначина равни је Ни (к - а1) + Њ (и - а2) + Нк (з - а3) = 0, где је (а1, а2, а3) било која тачка у равни и (Ни, Њ, Нк ) је нормални вектор, Н. У примеру, користећи тачку Ц, која је (1, 3, 4), једначина равни је 7 (к - 1) + 4 (и - 3) + 2 (з - 4) = 0, што поједностављује на 7к - 7 + 4и - 12 + 2з - 8 = 0, или 7к + 4и + 2з = 27.
Потврдите свој одговор. Замените оригиналне тачке да бисте видели да ли задовољавају једначину равни. Да закључимо пример, ако замените било коју од три тачке, видећете да је једначина равни заиста задовољена.
Савети
Погледајте Ресурсе за савете о томе како да користите системе три симултане једначине за проналажење једначине равни.