Три методе које се најчешће користе за решавање система једначина су супституција, елиминација и проширене матрице. Замена и елиминација су једноставне методе које могу ефикасно решити већину система две једначине у неколико директних корака. Метода проширених матрица захтева више корака, али његова примена се протеже на већи број система.
Замена
Супституција је метода решавања система једначина уклањањем свих променљивих осим једне у једној од једначина, а затим решавањем те једначине. То се постиже изоловањем друге променљиве у једначину и заменом вредности за те променљиве у другој једначини. На пример, да бисте решили систем једначина к + и = 4, 2к - 3и = 3, изолујте променљиву к у првом једначина да се добије к = 4 - и, а затим ову вредност и замените другом једначином да бисте добили 2 (4 - и) - 3и = 3. Ова једначина поједностављује на -5и = -5 или и = 1. Прикључите ову вредност у другу једначину да бисте пронашли вредност к: к + 1 = 4 или к = 3.
Елиминација
Елиминација је још један начин решавања система једначина преписивањем једне од једначина у смислу само једне променљиве. Метода елиминације то постиже додавањем или одузимањем једначина једна од друге како би се поништила једна од променљивих. На пример, додавањем једначина к + 2и = 3 и 2к - 2и = 3 добија се нова једначина, 3к = 6 (имајте на уму да су појмови и поништени). Систем се затим решава истим методама као и за супституцију. Ако је немогуће поништити променљиве у једначинама, биће потребно помножити целу једначину са фактором како би се коефицијенти поклопили.
Проширена матрица
Проширене матрице се такође могу користити за решавање система једначина. Проширена матрица састоји се од редова за сваку једначину, ступаца за сваку променљиву и проширеног ступца који садржи константни појам на другој страни једначине. На пример, проширена матрица за систем једначина 2к + и = 4, 2к - и = 0 је [[2 1], [2 -1]... [4, 0]].
Утврђивање решења
Следећи корак укључује употребу елементарних операција редова као што је множење или дељење реда са константом која није нула и додавање или одузимање редова. Циљ ових операција је претворити матрицу у облик ешалона реда, у којем је први унос који није нула у сваком реду 1, уноси изнад и испод овог уноса налазе се све нуле, а први унос који није нула за сваки ред је увек десно од свих таквих уноса у редовима изнад. Редни ешалонски облик за горњу матрицу је [[1 0], [0 1]... [1, 2]]. Вредност прве променљиве даје први ред (1к + 0и = 1 или к = 1). Вредност друге променљиве даје други ред (0к + 1и = 2 или и = 2).
Апликације
Супституција и елиминација су једноставније методе решавања једначина и користе се много чешће од проширених матрица у основној алгебри. Метода супституције је посебно корисна када је једна од променљивих већ изолована у једној од једначина. Метода елиминације је корисна када је коефицијент једне од променљивих једнак (или његов негативни еквивалент) у свим једначинама. Примарна предност проширених матрица је у томе што се она може користити за решавање система од три или више једначина у ситуацијама када су замена и елиминација или неизводљиви или немогући.