Трикови за факторисање квадратних једначина

Квадратне једначине су формуле које се могу записати у облику Ак ^ 2 + Бк + Ц = 0. Понекад се квадратна једначина може поједноставити факторингом или изражавањем једначине као производа одвојених појмова. Ово може олакшати решавање једначине. Фактори понекад могу бити тешки за препознавање, али постоје трикови који могу олакшати процес.

Испитајте квадратну једначину да бисте утврдили да ли постоји број и / или променљива која може поделити сваки члан једначине. На пример, узмите у обзир једначину 2к ^ 2 + 10к + 8 = 0. Највећи број који се може равномерно поделити у сваки члан једначине је 2, па је 2 највећи заједнички фактор (ГЦФ).

Поделите сваки члан у једначини са ГЦФ, а целу једначину помножите са ГЦФ. У примеру једначине 2к ^ 2 + 10к + 8 = 0, ово би резултирало 2 ((2/2) к ^ 2 + (10/2) к + (8/2)) = 2 (0/2).

Поједноставите израз довршавањем поделе у сваком појму. У коначној једначини не би требало бити разломка. У примеру, ово би резултирало 2 (к ^ 2 + 5к + 4) = 0.

Испитајте квадратну једначину да бисте видели да ли је у облику Ак ^ 2 + 0к - Ц = 0, где је А = и ^ 2 и Ц = з ^ 2. Ако је то случај, квадратна једначина изражава разлику од два квадрата. На пример, у једначини 4к ^ 2 + 0к - 9 = 0, А = 4 = 2 ^ 2 и Ц = 9 = 3 ^ 2, па је и = 2 и з = 3.

Израчунајте једначину у облик (ик + з) (ик - з) = 0. У примеру једначине, и = 2 и з = 3; стога је факторисана квадратна једначина (2к + 3) (2к - 3) = 0. Ово ће увек бити факторисани облик квадратне једначине која је разлика квадрата.

Испитајте квадратну једначину да бисте видели да ли је савршени квадрат. Ако је квадратна једначина савршен квадрат, може се записати у облику и ^ 2 + 2из + з ^ 2, као што је једначина 4к ^ 2 + 12к + 9 = 0, која се може преписати као (2к) ^ 2 + 2 (2к) (3) + (3) ^ 2. У овом случају, и = 2к и з = 3.

Проверите да ли је израз 2из позитиван. Ако је члан позитиван, фактори савршене квадратне квадратне једначине су увек (и + з) (и + з). На пример, у горњој једначини 12к је позитивно, па су фактори (2к + 3) (2к + 3) = 0.

Проверите да ли је израз 2из негативан. Ако је израз негативан, фактори су увек (и - з) (и - з). На пример, ако би горња једначина имала израз -12к уместо 12к, фактори би били (2к - 3) (2к - 3) = 0.

Поставите факторисани облик квадратне једначине тако што ћете написати (вк + в) (ик + з) = 0. Подсетите се правила за множење ФОИЛ (Прво, Споља, Изнутра, Последње). Како је први члан квадратне једначине Ак ^ 2, оба фактора једначине морају да садрже к.

Решити за в и и узимајући у обзир све факторе А у квадратној једначини. Ако је А = 1, тада ће и в и и увек бити 1. У примеру једначине к ^ 2 - 9к + 8 = 0, А = 1, тако да се в и и могу решити у факторисаној једначини да би се (1к + в) (1к + з) = 0.

Утврдите да ли су в и з позитивни или негативни. Примењују се следећа правила: Ц = позитивно и Б = позитивно; оба фактора имају знак + Ц = позитиван и Б = негативан; оба фактора имају - знак Ц = негативан и Б = позитиван; фактор са највећом вредношћу има знак + Ц = негативан и Б = негативан; фактор са највећом вредношћу има знак - У примеру једначине из корака 2, Б = -9 и Ц = +8, тако да оба фактора једначине ће имати знакове, а факторска једначина може се записати као (1к - в) (1к - з) = 0.

Направите листу свих фактора Ц да бисте пронашли вредности за в и з. У горњем примеру, Ц = 8, па су фактори 1 и 8, 2 и 4, -1 и -8 и -2 и -4. Фактори морају да се зброје са Б, што је у примеру једначине -9, па је в = -1 и з = -8 (или обрнуто) и наша једначина је у потпуности урачуната као (1к - 1) (1к - 8) = 0.

Смањите једначину на најједноставнији облик, користећи горе наведену методу Највећег заједничког фактора. На пример, у једначини 9к ^ 2 + 27к - 90 = 0, ГЦФ је 9, па је једначина поједностављена на 9 (к ^ 2 + 3к - 10).

Нацртајте оквир и поделите га у табелу са два реда и две колоне. Ставите Ак ^ 2 поједностављене једначине у ред 1, колона 1, а Ц поједностављене једначине у ред 2, колона 2.

Помножите А са Ц и пронађите све факторе производа. У горњем примеру, А = 1 и Ц = -10, тако да је производ (1) (- 10) = -10. Фактори -10 су -1 и 10, -2 и 5, 1 и -10 и 2 и -5.

Утврдите који од фактора производа АЦ чине Б. У примеру, Б = 3. Фактори од -10 који сабирају 3 су -2 и 5.

Помножите сваки идентификовани фактор са к. У примеру изнад, ово би резултирало са -2к и 5к. Ова два нова израза ставите у два празна простора на графикону, тако да табела изгледа овако:

к ^ 2 | 5к

-2к | -10

Пронађите ГЦФ за сваки ред и колону оквира. У примеру, ЦГФ за горњи ред је к, а за доњи ред је -2. ГЦФ за прву колону је к, а за другу колону 5.

Напиши факторирану једначину у облику (в + в) (и + з) користећи факторе идентификоване из редова графикона за в и в и факторе идентификоване из колона графикона за и и з. Ако је једначина поједностављена у кораку 1, не заборавите да укључите ГЦФ једначине у факторисани израз. У случају примера, факторска једначина биће 9 (к - 2) (к + 5) = 0.

Уверите се да је једначина у стандардном квадратном облику пре него што започнете било који од описаних метода.

Није увек лако идентификовати савршени квадрат или разлику квадрата. Ако брзо видите да је квадратна једначина коју покушавате да рачунате у једном од ових облика, онда то може бити од велике помоћи. Међутим, не трошите много времена покушавајући да ово схватите, јер би друге методе могле бити брже.

Увек проверите свој рад множењем фактора методом ФОИЛ. Фактори се увек морају множити натраг до првобитне квадратне једначине.