Већина људи се сећаПитагорина теоремаод почетничке геометрије - то је класика. Његово
а ^ 2 + б ^ 2 = ц ^ 2
гдеа, бицсу странице правоуглог троугла (цје хипотенуза). Па, ова теорема се такође може преписати за тригонометрију!
ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)
ТЛ; ДР (предуго; Нисам прочитао)
Питагорини идентитети су једначине које пишу Питагорину теорему у смислу триг функција.
ГлавниПитагорејски идентитетису:
\ син ^ 2 (θ) + \ цос ^ 2 (θ) = 1 \\ 1 + \ тан ^ 2 (θ) = \ сец ^ 2 (θ) \\ 1 + \ кревет ^ 2 (θ) = \ цсц ^ 2 (θ)
Питагорини идентитети су примеритригонометријски идентитети: једнакости (једначине) које користе тригонометријске функције.
Зашто је то важно?
Питагорини идентитети могу бити врло корисни за поједностављивање сложених триг изјава и једначина. Запамтите их одмах и можете себи уштедети пуно времена на путу!
Доказ коришћењем дефиниција триг функција
Ове идентитете је прилично једноставно доказати ако размислите о дефиницијама триг функција. На пример, докажимо то
\ син ^ 2 (θ) + \ цос ^ 2 (θ) = 1
Запамтите да је дефиниција синуса супротна страна / хипотенуза, а да је косинус суседна страница / хипотенуза.
Тако
\ син ^ 2 = \ фрак {\ текст {насупрот} ^ 2} {\ текст {хипотенуза} ^ 2}
И
\ цос ^ 2 = \ фрац {\ тект {суседни} ^ 2} {\ тект {хипотенуза} ^ 2}
Можете лако сабрати ово двоје, јер су именитељи исти.
\ син ^ 2 + \ цос ^ 2 = \ фрак {\ текст {насупрот} ^ 2 + \ текст {суседни} ^ 2} {\ текст {хипотенуза} ^ 2}
Сада поново погледајте Питагорину теорему. То пишеа2 + б2 = ц2. Имајте то на умуаибстоје на супротној и суседној страни ицозначава хипотенузу.
Једначину можете преуредити дељењем обе стране сац2:
а ^ 2 + б ^ 2 = ц ^ 2 \\ \ фрац {а ^ 2 + б ^ 2} {ц ^ 2} = 1
Ода2 иб2 су супротне и суседне странице иц2 је хипотенуза, имате изјаву еквивалентну оној горе, са (супротно2 + суседни2) / хипотенуза2. И захваљујући раду саа, б, ци Питагорину теорему, сада можете видети да је ова изјава једнака 1!
Тако
\ фрац {\ тект {насупрот} ^ 2 + \ тект {суседно} ^ 2} {\ тект {хипотенуза} ^ 2} = 1
и стога:
\ син ^ 2 + \ цос ^ 2 = 1
(И боље је да то правилно напишем: грех2(θ) + цос2(θ) = 1).
Узајамни идентитети
Проведимо неколико минута гледајућиреципрочни идентитетитакође. Запамтите даузајамноје један подељен са („преко“) вашим бројем - познат и као инверзни.
Пошто је косекант реципрочни синус:
\ цсц (θ) = \ фрац {1} {\ син (θ)}
Такође можете размишљати о косеканту користећи дефиницију синуса. На пример, синус = супротна страна / хипотенуза. Обрнуто од тога биће разломак окренут наопако, што је хипотенуза / супротна страна.
Слично томе, реципрочна вредност косинуса је секанта, па је дефинисана као
\ сец (θ) = \ фрац {1} {\ цос (θ)} \ тект {или} \ фрац {\ тект {хипотенуза}} {\ тект {суседна страна}}
А реципрочна вредност тангенте је котангенс, дакле
\ цот (θ) = \ фрац {1} {\ тан (θ)} = \ фрац {\ тект {суседна страна}} {\ тект {супротна страна}}
Докази за питагорејске идентитете помоћу сектанта и косеканта врло су слични доказима за синус и косинус. Једначине можете извести и помоћу „родитељске“ једначине, син2(θ) + цос2(θ) = 1. Поделите обе стране са цос2(θ) да се добије идентитет 1 + тан2(θ) = сек2(θ). Поделите обе стране грехом2(θ) да бисте добили идентитет 1 + дечији креветић2(θ) = цсц2(θ).
Сретно и будите сигурни да сте запамтили три питагорејска идентитета!