Ko začnete reševati algebraične enačbe, ki vključujejo polinome, postane sposobnost prepoznavanja posebnih, lahko razloženih oblik polinoma zelo koristna. Eden izmed najbolj uporabnih polinomov z "enostavnim faktorjem", ki ga je mogoče opaziti, je popoln kvadrat ali trinom, ki izhaja iz kvadriranja binoma. Ko enkrat določite popoln kvadrat, je njegovo razdeljevanje na posamezne komponente pogosto bistveni del postopka reševanja težav.
Preden lahko določite popoln kvadratni trinom, se ga morate naučiti prepoznati. Popoln kvadrat ima lahko eno od dveh oblik
a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \ text {, ki je zmnožek} (a + b) (a + b) = (a + b) ^ 2 \\ a ^ 2 - 2ab + b ^ 2 \ text {, ki je zmnožek} (a - b) (a - b) = (a - b) ^ 2
Preveri prvi in tretji člen trinoma. Sta oba kvadrata? Če je odgovor pritrdilen, ugotovite, za katere kvadratke gre. Na primer, v drugem zgoraj navedenem primeru "resničnega sveta":
y ^ 2 - 2y + 1
izrazy2 je očitno kvadratyIzraz 1 je morda manj očitno kvadrat 1, ker 12 = 1.
Pomnožite korenine prvega in tretjega izraza skupaj. Če nadaljujemo z zgledom, to je
yin 1, kar vam dajey × 1 = 1yali preprostoy.Nato pomnožite svoj izdelek z 2. Če nadaljujemo s primerom, imate 2y
Na koncu primerjajte rezultat zadnjega koraka s srednjim členom polinoma. Se ujemata? V polinomay2 – 2y+1, se. (Znak ni pomemben; tudi ujemanje bi bilo, če bi bil srednji rok +2y.)
Ker je bil odgovor v 1. koraku "da" in se vaš rezultat iz 2. koraka ujema s srednjim členom polinoma, veste, da gledate popoln kvadratni trinom.
Ko enkrat veste, da gledate popoln kvadratni trinom, je postopek njegovega faktorjenja povsem enostaven.
Določite korenine ali števila, ki so na kvadrat, v prvem in tretjem členu trinoma. Upoštevajte še en primer trinoma, za katerega že veste, da je popoln kvadrat:
x ^ 2 + 8x + 16
Očitno je število, ki je v prvem izrazu na kvadrat,x. Število, ki je v tretjem členu na kvadrat, je 4, ker je 42 = 16.
Pomislite na formule za popolne kvadratne trinome. Veste, da bodo vaši dejavniki v obliki (a + b)(a + b) ali obrazec (a – b)(a – b), kjeainbso števila, ki so v prvem in tretjem členu na kvadrat. Tako lahko svoje dejavnike zapišete tako, da zaenkrat izpustite znake sredi vsakega izraza:
(a \,? \, b) (a \,? \, b) = a ^ 2 \,? \, 2ab + b ^ 2
Če želite nadaljevati primer z nadomestitvijo korenin vašega trenutnega trinoma, imate:
(x \,? \, 4) (x \,? \, 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Preverite srednji člen trinoma. Ali ima pozitiven ali negativen predznak (ali, če rečem drugače, se dodaja ali odšteva)? Če ima pozitiven predznak (ali se dodaja), imata oba faktorja trinoma na sredini znak plus. Če ima negativni predznak (ali se odšteva), imata oba dejavnika negativni predznak na sredini.
Srednji člen trenutnega primera trinoma je 8x- pozitivno je - torej ste zdaj upoštevali popoln kvadratni trinom:
(x + 4) (x + 4) = x ^ 2 + 8x + 16
Preverite svoje delo tako, da pomnožite dva faktorja. Z uporabo FOIL ali prve, zunanje, notranje, zadnje metode dobite:
x ^ 2 + 4x + 4x + 16
Če to poenostavimo, dobimo rezultatx2 + 8x+ 16, kar se ujema z vašim trinomom. Dejavniki so torej pravilni.