Konceptlastne vrednostije nejasna, vendar je zelo koristna za matematike in fizikalne znanstvenike, ki se soočajo z nekaterimi zanimivimi težavami.
Če želite razumeti lastno vrednost, si predstavljajte, da imate funkcijo (npr.y = x2 + 6x, aliy= dnevnik 4x), ki bi ga lahko izvedli tako, da bi bil rezultat enak pomnožitvi celotne funkcije s konstantno vrednostjo. Takšna funkcija bi bila kvalificirana kotlastna funkcija, in konstanta bi bila lastna vrednost.
- "Eigen" je nemško za "enako".
Za najboljše razumevanje lastnih vrednosti in lastnih funkcij ter za lastno izračun lastnih vrednosti potrebujete osnovno razumevanje matric. Ti matematični triki se uporabljajo za določitev recimo veznega reda NO2 (dušikov dioksid) in druge molekule, ker obnašanje elektronov v atomih določajo valovne funkcije, ki so opredeljene kot lastne funkcije.
Kaj je matrica?
Matrika je niz številk, razvrščenih v vrstice in stolpce, ki lahko štejejo od 1 don. Dimenzije matric so podane kot vrstice za stolpci; na primer, matrika 2 na 3:
\ begin {bmatrix} 3 & 0 & 4 \\ 1 & 3 & 5 \\ \ end {bmatrix}
Matrice je mogoče seštevati, če so enake velikosti (to pomeni, da imajo enako število vrstic in enako število stolpcev). Lahko jih tudi pomnožimo s postopnim postopkom pod enakimi pogoji. Poleg tega lahko katero koli matrico pomnožimo z vektorjem, ki je 1-kratnalin-z matriko 1; to vključuje druge vektorje.
Kaj je enačba lastnih vrednosti?
Recimo, da imaten-z-nali "kvadratna" matrikaA, drugačna od ničn-v vektorju 1vin skalarλ, tako da je izpolnjena naslednja enačba:
\ krepko {Av} = λ \ krepko {v}
Katera koli vrednostλza katero ima ta enačba rešitev, znana kot lastna vrednost matrikeA.
Ne dovolite, da vaš um obravnava zgornje izraze kot izdelek.Ajeoperaterali linearna transformacija vektorjav, ta izračun je mogoč samo zato, kerAinvoba imatanvrstice.
Zakaj uporabljati funkcije lastnih vrednosti?
Izpeljava je zapletena, toda v atomski kemiji se za izražanje kinetične in potencialne energije sistema uporablja Hamiltonov operator "H-bar":
\ klobuk H = - \ dfrac {ℏ} {2m} ∇ ^ 2 + \ klobuk V (x, y, z)
To se uporablja za zapis oblikeSchrodingerjeva enačba valovne funkcijev kvantni mehaniki:
\ klobuk Hψ (x, y, z) = Eψ (x, y, z)
TukajEpredstavlja lastne vrednosti, ki izpolnjujejo to enačbo.
Načini iskanja lastnih vrednosti matrike
Iz enačbe Av = λv dobiteA v − λv=0. To vodi do:
\ krepko {A v} - λ (\ krepko {I v}) = 0
Kjejazje matrika identitete 2 na 2 z vrsticami [λ0] in [0λ], kar vodi do 1, če se pomnoži s skalarjemλ. Ta rezultat prinaša:
(\ krepko {A} - λ \ krepko {I}) \ krepko {v} = 0
Kateri pa čevni nič, ima rešitev le, če je absolutna vrednostA− λjaz, ali |A − λjaz, je nič. Če to počnete ročno, gre za reševanje kvadratne enačbe in je lahko dolgočasno.
Če želite pomnožiti dve matriki, za vsako točko matrike izdelka pomnožite ustrezne točke skupaj in to dodajte izdelkom preostalih elementov vrstic in stolpcev v vrstici in stolpcu, na katerega je nova točka pripada.
Pri množenju dveh matric 2-z-2AinBskupaj, če je prva vrsticaAje [1 3] in prvi stolpecBje [2 5], bi bilo število v prvem stolpcu in vrstici nove matrike [(1 × 2) + (3 × 5)] = 15 in ustrezno za ostale tri točke.
Izračunajte lastne vrednosti na spletu
V virih boste našli orodje za izračun matrice, ki vam omogoča, da poiščete lastne vrednosti in še več za matriko skoraj vseh možnih velikosti.