Kako vedeti razliko med navpično asimptoto in luknjo v grafu racionalne funkcije

Dano racionalno funkcijo bomo uporabili kot primer, da bomo analitično prikazali, kako najti navpično asimptoto in luknjo v grafu te funkcije. Naj bo racionalna funkcija,... f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6).

Faktoriziranje imenovalca f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6). Dobimo naslednjo enakovredno funkcijo, f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)]. Zdaj, če je imenovalec (x-2) (x-3) = 0, potem bo racionalna funkcija nedefinirana, to je primer delitve z ničlo (0). Glejte članek "Kako deliti z ničlo (0)", ki ga je napisal isti avtor Z-MATH.

Opazili bomo, da delitev z ničlo ni definirana le, če ima racionalni izraz števec, ki ni enak nič (0), in imenovalec je enak nič (0), v tem primeru bo graf funkcije šel brez meja proti pozitivni ali negativni neskončnosti pri vrednosti x, zaradi katere je izraz imenovalca enak nič. Pri tem x narišemo navpično črto, imenovano Vertikalna asimptota.

Če sta števec in imenovalec racionalnega izraza nič (0), bo za isto vrednost x Delitev z ničlo pri tej vrednosti x naj bi bila "nesmiselna" ali nedoločena, v grafu pa imamo luknjo pri tej vrednosti od x.

Torej, v racionalni funkciji f (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)] vidimo, da je pri x = 2 ali x = 3 imenovalec enak nič (0 ). Toda pri x = 3 opazimo, da je števec enak (1), to je f (3) = 1/0, torej navpična asimptota pri x = 3. Toda pri x = 2 imamo f (2) = 0/0, "brez pomena". Na grafikonu je luknja pri x = 2.

Koordinate luknje lahko najdemo tako, da najdemo enakovredno racionalno funkcijo f (x), ki ima vse iste točke f (x), razen v točki pri x = 2. To pomeni, da je g (x) = (x-2) / [(x-2) (x-3)], x ≠ 2, tako da z zmanjšanjem na najnižje izraze imamo g (x) = 1 / (x- 3). Z nadomestitvijo x = 2 v to funkcijo dobimo g (2) = 1 / (2-3) = 1 / (- 1) = -1. torej je luknja v grafu f (x) = (x-2) / (x² - 5x + 6), na (2, -1).

• Papir in
• Svinčnik.