Korenine polinoma imenujemo tudi njegove ničle, ker so koreninexvrednosti, pri katerih je funkcija enaka nič. Ko gre za dejansko iskanje korenin, imate na voljo več tehnik; faktoring je metoda, ki jo boste najpogosteje uporabljali, čeprav je lahko tudi grafično delo koristno.
Koliko korenin?
Preučite član polinoma z najvišjo stopnjo - to je izraz z največjo eksponentno vrednostjo. Ta eksponent je, koliko korenin bo imel polinom. Torej, če je najvišji eksponent v vašem polinomu 2, bo imel dve korenini; če je najvišji eksponent 3, bo imel tri korenine; in tako naprej.
Opozorila
-
Obstaja ulov: Koreni polinoma so lahko resnični ali namišljeni. "Prave" korenine so člani nabora, znanega kot realna števila, kar je na tej točki vaše matematične kariere vsako število, s katerim ste navajeni. Obvladovanje namišljenih števil je povsem druga tema, zato si za zdaj zapomnite le tri stvari:
- "Imaginarne" korenine se prikažejo, ko imate kvadratni koren negativnega števila. Na primer √ (-9).
- Namišljene korenine vedno prihajajo v parih.
- Korenine polinoma so lahko resnične ali namišljene. Torej, če imate polinom 5. stopnje, ima lahko pet resničnih korenin, lahko ima tri resnične korenine in dve namišljeni korenini itd.
Poiščite korenine s faktoringom: primer 1
Najbolj vsestranski način iskanja korenin je čim več faktorja vašega polinoma in nato vsak člen enak nič. To je veliko bolj smiselno, ko sledite nekaj primerom. Razmislite o preprostem polinumux2 – 4x:
Kratek pregled pokaže, da lahko upoštevate faktorxiz obeh izrazov polinoma, kar vam daje:
x (x - 4)
Vsak izraz nastavite na nič. To pomeni reševanje dveh enačb:
x = 0
je prvi izraz, nastavljen na nič, in
x - 4 = 0
je drugi izraz nastavljen na nič.
Rešitev za prvi mandat že imate. Čex= 0, potem je celoten izraz enak nič. Torejx= 0 je ena od korenin ali nič polinoma.
Zdaj pa razmislite o drugem mandatu in se odločite zax. Če na obe strani dodate 4, boste imeli:
x - 4 + 4 = 0 + 4
kar poenostavlja na:
x = 4
Torej čex= 4, potem je drugi faktor enak nič, kar pomeni, da je tudi celoten polinom enak nič.
Ker je bil prvotni polinom druge stopnje (najvišji eksponent je bil dva), veste, da sta za ta polinom možni le dve korenini. Oba ste že našli, zato jih morate le našteti:
x = 0, x = 4
Poiščite korenine s faktoringom: primer 2
Tu je še en primer, kako najti korenine s faktorjem, pri tem pa uporabiti nekaj modne algebre. Razmislite o polinumux4 – 16. Hiter pogled na njene eksponente vam pokaže, da bi morali biti za ta polinom štiri korenine; zdaj je čas, da jih poiščemo.
Ste opazili, da lahko ta polinom prepišemo kot razliko kvadratov? Torej namestox4 - 16, imate:
(x ^ 2) ^ 2 - 4 ^ 2
Kar z uporabo formule za razliko kvadratov upošteva naslednje:
(x ^ 2 - 4) (x ^ 2 + 4)
Prvi izraz je spet razlika kvadratov. Torej, čeprav izraza na desni strani ne morete več razstaviti, lahko izraz na levi razdelite še en korak več:
(x - 2) (x + 2) (x ^ 2 + 4)
Zdaj je čas, da poiščemo ničle. Hitro postane jasno, da čex= 2, bo prvi faktor enak nič, s tem pa bo celoten izraz enak nič.
Podobno, čex= -2, bo drugi faktor enak nič, s tem pa tudi celoten izraz.
Torejx= 2 inx= −2 sta obe ničli ali korenini tega polinoma.
Kaj pa zadnji mandat? Ker ima eksponent "2", bi moral imeti dve korenini. Vendar tega izraza ne morete upoštevati z uporabo dejanskih števil, ki ste jih vajeni. Uporabiti bi morali zelo napreden matematični koncept, imenovan namišljena števila ali, če želite, kompleksna števila. To daleč presega obseg vaše trenutne matematične prakse, zato je za zdaj dovolj, da ugotovite, da imate dve resnični korenini (2 in -2) in dve namišljeni korenini, ki jih ne boste videli.
Poiščite korenine z grafičnim prikazom
Korenine lahko najdete ali vsaj ocenite tudi z grafikoni. Vsak koren predstavlja mesto, kjer graf funkcije prečkaxos. Torej, če začrtate črto in nato zabeležitexkoordinate, kjer črta prečkaxos, lahko vstavite ocenjenoxvrednosti teh točk v svojo enačbo in preverite, ali ste jih dobili pravilno.
Razmislite o prvem primeru, za katerega ste delali, za polinomx2 – 4x. Če ga natančno narišete, boste videli, da črta prečka črkoxos prix= 0 inx= 4. Če vnesete vsako od teh vrednosti v prvotno enačbo, boste dobili:
0^2 - 4(0) = 0
torejx= 0 je bila veljavna ničla ali koren za ta polinom.
4^2 - 4(4) = 0
torejx= 4 je tudi veljavna ničla ali koren za ta polinom. In ker je bil polinom 2. stopnje, veste, da lahko po iskanju dveh korenin nehate iskati.