Nič ne zmede enačbe tako kot logaritmi. So okorni, z njimi je težko upravljati in so za nekatere nekoliko skrivnostni. Na srečo obstaja enak način, da se znebite svoje enačbe teh nadležnih matematičnih izrazov. Vse, kar morate storiti, je, da si zapomnite, da je logaritem inverzna vrednost eksponenta. Čeprav je osnova logaritma lahko poljubno število, sta najpogostejši osnovi v znanosti 10 in e, kar je iracionalno število, znano kot Eulerjevo število. Za njihovo razlikovanje matematiki uporabljajo "log", ko je osnova 10, in "ln", ko je osnova e.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Če želite znebiti enačbe logaritmov, dvignite obe strani na enak eksponent kot osnova logaritmov. V enačbah z mešanimi izrazi zberi vse logaritme na eni strani in najprej poenostavi.
Kaj je logaritem?
Koncept logaritma je preprost, vendar ga je malo težko ubesediti. Logaritem je, kolikokrat morate število pomnožiti samo, da dobite drugo število. Drugače lahko rečemo, da je logaritem stopnja, na katero je treba določeno število, imenovano osnova, dvigniti, da dobimo drugo število. Moč se imenuje argument logaritma.
Na primer dnevnik82 = 64 preprosto pomeni, da dvig 8 na stopnjo 2 daje 64. V dnevniku enačb x = 100, osnova je 10, zato lahko argument preprosto rešite, x ker odgovarja na vprašanje: "10 postavljeno na to, da je moč enaka 100?" Odgovor je 2.
Logaritem je inverzna vrednost eksponenta. Dnevnik enačb x = 100 je še en način pisanja 10_x_ = 100. To razmerje omogoča odstranitev logaritmov iz enačbe z dvigom obeh strani na enak eksponent kot osnova logaritma. Če enačba vsebuje več logaritmov, morajo imeti enako osnovo, da to deluje.
Primeri
V najpreprostejšem primeru je logaritem neznanega števila enak drugemu številu:
\ log x = y
Dvignite obe strani na eksponente 10 in dobite
10 ^ {\ log x} = 10 ^ y
Od 10(dnevnik x) je preprosto x, enačba postane
x = 10 ^ y
Ko so vsi izrazi v enačbi logaritmi, dvig obeh strani na eksponent ustvari standardni algebrski izraz. Na primer dvig
\ log (x ^ 2 - 1) = \ log (x + 1)
do moči 10 in dobite:
x ^ 2 - 1 = x + 1
ki poenostavlja na
x ^ 2 - x - 2 = 0.
Rešitve so x = −2; x = 1.
V enačbah, ki vsebujejo mešanico logaritmov in drugih algebrskih izrazov, je pomembno zbrati vse logaritme na eni strani enačbe. Nato lahko dodate ali odštejete izraze. Po zakonu logaritmov velja naslednje:
\ log x + \ log y = \ log (xy) \\ \, \\ \ log x - \ log y = \ log \ bigg (\ frac {x} {y} \ bigg)
Tu je postopek za reševanje enačbe z mešanimi izrazi:
Začnite z enačbo: Na primer
\ log x = \ log (x - 2) + 3
Prerazporedite pogoje:
\ log x - \ log (x - 2) = 3
Uporabi zakon logaritmov:
\ log \ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 3
Dvignite obe strani do stopnje 10:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3
Reši za x:
\ bigg (\ frac {x} {x-2} \ bigg) = 10 ^ 3 \\ x = 1000x - 2000 \\ -999x = -2000 \\ x = \ frac {2000} {999} = 2.002