Triki za faktoring kvadratnih enačb

Kvadratne enačbe so formule, ki jih lahko zapišemo v obliki Ax ^ 2 + Bx + C = 0. Včasih lahko kvadratno enačbo poenostavimo s faktoringom ali z izražanjem enačbe kot zmnožka ločenih izrazov. To lahko olajša reševanje enačbe. Dejavnike je včasih težko prepoznati, vendar obstajajo triki, ki lahko postopek olajšajo.

Preučite kvadratno enačbo in ugotovite, ali obstaja število in / ali spremenljivka, ki lahko razdeli vsak člen enačbe. Na primer, upoštevajte enačbo 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0. Največje število, ki ga lahko enakomerno razdelimo na vsak člen enačbe, je 2, torej je 2 največji skupni faktor (GCF).

Vsak člen v enačbi razdelite na GCF in celotno enačbo pomnožite z GCF. V primeru enačbe 2x ^ 2 + 10x + 8 = 0 bi to povzročilo 2 ((2/2) x ^ 2 + (10/2) x + (8/2)) = 2 (0/2).

Poenostavite izraz tako, da delite vsak izraz. V končni enačbi ne sme biti ulomkov. V primeru bi to povzročilo 2 (x ^ 2 + 5x + 4) = 0.

Preučite kvadratno enačbo, da ugotovite, ali je v obliki Ax ^ 2 + 0x - C = 0, kjer je A = y ^ 2 in C = z ^ 2. V tem primeru kvadratna enačba izraža razliko dveh kvadratov. Na primer, v enačbi 4x ^ 2 + 0x - 9 = 0, A = 4 = 2 ^ 2 in C = 9 = 3 ^ 2, torej y = 2 in z = 3.

Enačbo upoštevajte v obliki (yx + z) (yx - z) = 0. V enačbi primera je y = 2 in z = 3; zato je razčlenjena kvadratna enačba (2x + 3) (2x - 3) = 0. To bo vedno razdeljena oblika kvadratne enačbe, ki je razlika kvadratov.

Preučite kvadratno enačbo in ugotovite, ali gre za popoln kvadrat. Če je kvadratna enačba popoln kvadrat, jo lahko zapišemo v obliki y ^ 2 + 2yz + z ^ 2, na primer enačbo 4x ^ 2 + 12x + 9 = 0, ki jo lahko prepišemo kot (2x) ^ 2 + 2 (2x) (3) + (3) ^ 2. V tem primeru je y = 2x in z = 3.

Preverite, ali je izraz 2yz pozitiven. Če je izraz pozitiven, so faktorji popolne kvadratne kvadratne enačbe vedno (y + z) (y + z). Na primer, v zgornji enačbi je 12x pozitivno, zato so faktorji (2x + 3) (2x + 3) = 0.

Preverite, ali je izraz 2yz negativen. Če je izraz negativen, so faktorji vedno (y - z) (y - z). Če bi na primer enačba zgoraj imela izraz -12x namesto 12x, bi bili faktorji (2x - 3) (2x - 3) = 0.

Nastavite faktorno obliko kvadratne enačbe tako, da zapišete (vx + w) (yx + z) = 0. Spomnimo se pravil za množenje FOIL (First, Outside, Inside, Last). Ker je prvi člen kvadratne enačbe Ax ^ 2, morata oba dejavnika enačbe vsebovati x.

Rešite za v in y tako, da upoštevate vse faktorje A v kvadratni enačbi. Če je A = 1, bosta oba v in y vedno 1. V primeru enačbe x ^ 2 - 9x + 8 = 0, A = 1, tako da je mogoče v faktorju enačiti v in y, da dobimo (1x + w) (1x + z) = 0.

Ugotovite, ali sta w in z pozitivni ali negativni. Veljajo naslednja pravila: C = pozitivno in B = pozitivno; oba dejavnika imata znak + C = pozitiven in B = negativen; oba dejavnika imata - znak C = negativno in B = pozitivno; faktor z največjo vrednost ima znak + C = negativno in B = negativno; faktor z največjo vrednost ima znak - V primeru enačbe iz 2. koraka je B = -9 in C = +8, torej oba dejavnika enačbe bosta imela znaka, faktorsko enačbo pa lahko zapišemo kot (1x - w) (1x - z) = 0.

Naredite seznam vseh faktorjev C, da poiščete vrednosti za w in z. V zgornjem primeru je C = 8, torej so faktorji 1 in 8, 2 in 4, -1 in -8 ter -2 in -4. Faktorji se morajo sešteti do B, kar je v primeru enačbe -9, tako da je w = -1 in z = -8 (ali obratno), naša enačba pa je v celoti razdeljena na 0.

Z uporabo zgoraj navedene metode največjega skupnega faktorja enačbo zmanjšajte na njeno najpreprostejšo obliko. Na primer, v enačbi 9x ^ 2 + 27x - 90 = 0 je GCF 9, zato je enačba poenostavljena na 9 (x ^ 2 + 3x - 10).

Narišite polje in ga razdelite na tabelo z dvema vrsticama in dvema stolpcema. V vrstico 1, stolpec 1, in C poenostavljene enačbe vstavite Ax ^ 2 poenostavljene enačbe v vrstico 2, stolpec 2.

Pomnožite A s C in poiščite vse dejavnike izdelka. V zgornjem primeru sta A = 1 in C = -10, tako da je izdelek (1) (- 10) = -10. Faktorji -10 so -1 in 10, -2 in 5, 1 in -10 ter 2 in -5.

Ugotovite, kateri od dejavnikov izdelka AC sešteva B. V primeru je B = 3. Dejavniki -10, ki seštejejo do 3, so -2 in 5.

Pomnožite vsakega od opredeljenih faktorjev z x. V zgornjem primeru bi to povzročilo -2x in 5x. Ta dva nova izraza postavite v dva prazna prostora na grafikonu, tako da bo tabela videti tako:

x ^ 2 | 5x

-2x | -10

Poiščite GCF za vsako vrstico in stolpec polja. V primeru je CGF za zgornjo vrstico x, za spodnjo vrstico pa -2. GCF za prvi stolpec je x, za drugi stolpec pa 5.

Uštejte enačbo na faktorje v obliki (w + v) (y + z) z uporabo faktorjev, opredeljenih iz vrstic grafikona za w in v, in faktorjev, opredeljenih iz stolpcev grafikona za y in z. Če je bila enačba poenostavljena v 1. koraku, ne pozabite vključiti GCF enačbe v faktorjev izraz. V primeru primera bo upoštevana enačba 9 (x - 2) (x + 5) = 0.

Preden začnete katero koli od opisanih metod, se prepričajte, da je enačba v standardni kvadratni obliki.

Ni vedno enostavno prepoznati popolnega kvadrata ali razlike kvadratov. Če hitro vidite, da je kvadratna enačba, ki jo poskušate upoštevati, v eni od teh oblik, potem je to lahko v veliko pomoč. Vendar ne porabljajte veliko časa, da bi to ugotovili, saj bi bile druge metode lahko hitrejše.

Vedno preverite svoje delo tako, da pomnožite faktorje z uporabo metode FOIL. Faktorji se morajo vedno pomnožiti nazaj na prvotno kvadratno enačbo.