Kako rešiti kubične enačbe

Reševanje polinomskih funkcij je ključna veščina za vsakogar, ki študira matematiko ali fiziko, vendar je spopadanje s postopkom - še posebej, če gre za funkcije višjega reda - lahko precej zahtevno. Kubična funkcija je ena najzahtevnejših vrst polinomskih enačb, ki jo boste morda morali rešiti ročno. Čeprav morda ni tako enostavno kot reševanje kvadratne enačbe, obstaja nekaj metod lahko uporabite za iskanje rešitve za kubično enačbo, ne da bi posegali po straneh in straneh s podrobnostmi algebra.

Kubična funkcija je polinom tretje stopnje. Splošna polinomska funkcija ima obliko:

Tukaj, x je spremenljivka, n je preprosto poljubno število (in stopnja polinoma), k je konstanta, ostale črke pa so konstantni koeficienti za vsako stopnjo x. Torej ima kubična funkcija n = 3 in je preprosto:

Kje v tem primeru d je konstanta. Na splošno, ko morate rešiti kubično enačbo, vam bo predstavljena v obliki:

Vsaka rešitev za x se imenuje "koren" enačbe. Kubične enačbe imajo bodisi en pravi koren bodisi tri, čeprav jih je mogoče ponoviti, vendar je vedno vsaj ena rešitev.

Tip enačbe je opredeljen z največjo močjo, zato v zgornjem primeru ne bi bila kubična enačba a = 0, ker bi bil najvišji izraz moči bx² in to bi bila kvadratna enačba. To pomeni, da so naslednje vse kubične enačbe:

Najlažji način za reševanje kubične enačbe vključuje nekaj ugibanj in algoritemski tip postopka, imenovanega sintetična delitev. Začetek pa je v bistvu enak metodi poskusov in napak za rešitve kubičnih enačb. Poskusite z ugibanjem ugotoviti, kaj je ena od korenin. Če imate enačbo, kjer je prvi koeficient, a, enako 1, potem je nekoliko lažje uganiti eno od korenin, ker so to vedno dejavniki konstante, ki je zgoraj predstavljena z d.

Torej, če pogledamo na primer naslednjo enačbo:

Uganiti morate eno od vrednosti za x, ampak od a = 1 v tem primeru veste, da ne glede na vrednost mora biti faktor 24. Prvi tak faktor je 1, vendar bi to ostalo:

1 – 5 – 2 + 24 = 18

Kar ni nič in −1 bi zapustilo:

−1 – 5 + 2 + 24 = 20

Kar spet ni nič. Naslednji, x = 2 bi dalo:

8 – 20 – 4 + 24 = 8

Še en neuspeh. Poskušam x = −2 daje:

−8 – 20 + 4 + 24 = 0

To pomeni x = -2 je koren kubične enačbe. To kaže na prednosti in slabosti metode poskusov in napak: odgovor lahko dobite brez veliko misel, vendar je zamudna (še posebej, če morate pred iskanjem korena preiti na višje dejavnike). Na srečo, ko najdete en koren, lahko preprosto rešite preostanek enačbe.

Ključ je vključitev faktorjevega izreka. To navaja, da če x = s je rešitev, potem (x – s) je dejavnik, ki ga je mogoče izvleči iz enačbe. V tej situaciji s = −2 in tako (x + 2) je dejavnik, ki ga lahko izvlečemo, da zapustimo:

Izrazi v drugi skupini oklepajev imajo obliko kvadratne enačbe, zato, če najdete ustrezne vrednosti za a in b, enačbo je mogoče rešiti.

To lahko dosežemo s sintetično delitvijo. Najprej zapišite koeficiente prvotne enačbe v zgornjo vrstico tabele z ločilno črto in nato znanim korenom na desni:

Pustite eno rezervno vrstico, nato pa pod njo dodajte vodoravno črto. Najprej snemite prvo številko (v tem primeru 1) v vrstico pod vodoravno črto

Zdaj pomnožite številko, ki ste jo pravkar zrušili, z znanim korenom. V tem primeru je 1 × -2 = -2 in to je zapisano pod naslednjo številko na seznamu, in sicer:

Nato dodajte številke v drugem stolpcu in rezultat postavite pod vodoravno črto:

Zdaj ponovite postopek, ki ste ga pravkar preživeli, z novo številko pod vodoravno črto: pomnožite z root, odgovor vstavite v prazen prostor v naslednjem stolpcu in nato dodajte stolpec, da dobite novo številko na spodnja vrstica. Tako ostane:

In nato še zadnjič skozi postopek.

Dejstvo, da je zadnji odgovor nič, vam pove, da ste dobili veljaven koren, torej, če to ni nič, ste nekje naredili napako.

Spodnja vrstica vam pove dejavnike treh izrazov v drugem nizu oklepajev, tako da lahko zapišete:

In tako:

To je najpomembnejša stopnja rešitve in od te točke naprej lahko zaključite na več načinov.

Ko odstranite faktor, lahko rešitev poiščete z uporabo faktorijev. Iz zgornjega koraka je to v bistvu enaka težava kot faktoring kvadratne enačbe, ki je v nekaterih primerih lahko zahtevna. Vendar za izraz:

Če se spomnite, da morate dve številki, ki jo vstavite v oklepaje, dodati, da dobite drugi koeficient (7) in pomnožite, da dobite tretji (12), je v tem primeru dokaj enostavno videti:

Če želite, lahko to pomnožite in preverite. Ne počutite se malodušnega, če ne vidite faktorja takoj; malo je treba vaditi. Izvirna enačba ostane tako:

Kar lahko takoj vidite, ima rešitve pri x = −2, 3 in 4 (vsi so faktorji 24, prvotna konstanta). Teoretično je mogoče videti tudi celotno razčlenjevanje, začenši s prvotno različico enačbe, vendar je to veliko bolj zahtevno, zato je bolje, da poiščete eno rešitev iz poskusov in napak in uporabite zgornji pristop, preden poskusite odkriti a faktorizacija.

Če se trudiš videti faktorje, lahko uporabiš formulo kvadratne enačbe:

Poiskati preostale rešitve.

Čeprav je s tem veliko večji in manj preprost, obstaja preprost kubični enačbenik v obliki kubične formule. To je kot formula kvadratne enačbe, saj samo vnesete svoje vrednosti a, b, c in d da bi dobili rešitev, vendar je le veliko dlje.

Navaja, da:

kje

in

Uporaba te formule je dolgotrajna, če pa ne želite uporabljati metode poskusov in napak za rešitve s kubičnimi enačbami in nato kvadratno formulo, to deluje, ko gre skozi vse.