V matematiki je zaporedje kateri koli niz števil, razvrščenih v naraščajočem ali padajočem vrstnem redu. Zaporedje postane geometrijsko zaporedje, ko lahko vsako število dobite tako, da prejšnje število pomnožite s skupnim faktorjem. Na primer serije 1, 2, 4, 8, 16... je geometrijsko zaporedje s skupnim faktorjem 2. Če katero koli številko v seriji pomnožite z 2, boste dobili naslednjo številko. Nasprotno pa zaporedje 2, 3, 5, 8, 14, 22... ni geometričen, ker med števili ni skupnega faktorja. Geometrijsko zaporedje ima lahko delni skupni faktor, v tem primeru je vsako zaporedno število manjše od tistega pred njim. 1, 1/2, 1/4, 1/8... je primer. Njegov skupni faktor je 1/2.
Dejstvo, da ima geometrijsko zaporedje skupni faktor, vam omogoča dve stvari. Prvi je izračun poljubnega naključnega elementa v zaporedju (ki ga matematiki radi imenujejo "nth "element), drugi pa najti vsoto geometrijskega zaporedja donth element. Ko seštejete zaporedje tako, da med vsakim parom izrazov postavite znak plus, zaporedje spremenite v geometrijsko vrsto.
Iskanje n-tega elementa v geometrijski seriji
Na splošno lahko katero koli geometrijsko serijo predstavite na naslednji način:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 +.. .
kje "a"je prvi izraz v seriji in"r"je skupni dejavnik. Če želite to preveriti, razmislite o seriji, v kateria= 1 inr= 2. Dobite 1 + 2 + 4 + 8 + 16... deluje!
Ko smo to ugotovili, je zdaj mogoče izpeljati formulo za n-ti člen v zaporedju (xn).
x_n = ar ^ {(n-1)}
Eksponent jen- 1 namestonda omogoči, da se prvi člen v zaporedju zapiše kotar0, kar je enako "a."
To preverite z izračunom četrtega člena v seriji primerov.
x_4 = (1) × 2 ^ 3 = 8
Izračun vsote geometrijskega zaporedja
Če želite sešteti divergentno zaporedje, ki ima skupno razmerje, večje od 1 ali manjše od -1, lahko to storite le do končnega števila izrazov. Vendar je mogoče izračunati vsoto neskončnega konvergentnega zaporedja, ki ima skupno razmerje med 1 in - 1.
Če želite razviti formulo geometrijske vsote, najprej preučite, kaj počnete. Iščete skupno število naslednjih serij dodatkov:
a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 +... + ar ^ {(n-1)}
Vsak izraz v seriji jeark, inkgre od 0 don− 1. Formula za vsoto niza uporablja znak velikega znaka - ∑ - kar pomeni dodati vse izraze iz (k= 0) do (k = n − 1).
\ sum_k ^ {n-1} ar ^ k = a \ bigg (\ frac {1 - r ^ n} {1 - r} \ bigg)
Če želite to preveriti, upoštevajte vsoto prvih 4 členov geometrijske vrste, ki se začne pri 1 in ima skupni faktor 2. V zgornji formulia = 1, r= 2 inn= 4. Če priključite te vrednosti, dobite:
1 \ bigg (\ frac {1 - 2 ^ 4} {1 - 2} \ bigg) = 15
To je enostavno preveriti tako, da sami dodate številke v seriji. Ko potrebujete vsoto geometrijske vrste, je običajno lažje sami dodati številke, če je le nekaj izrazov. Če ima serija veliko število izrazov, je veliko lažje uporabiti formulo geometrijske vsote.
