Recimo, da imate n vrst predmetov in želite izbrati zbirko r od njih. Te izdelke bomo morda želeli v določenem vrstnem redu. Tem naborom postavk pravimo permutacije. Če vrstni red ni pomemben, pokličemo nabor zbirk kombinacij. Tako za kombinacije kot za permutacije lahko upoštevate primer, v katerem izberete nekatere od n vrst več kot enkrat, kar se imenuje „s ponovitvijo“ ali primer, v katerem izberete posamezno vrsto samo enkrat, kar se imenuje „ne ponovitev '. Cilj je prešteti število kombinacij ali permutacij, ki so možne v dani situaciji.
Naročila in dejavniki
Faktorska funkcija se pogosto uporablja pri izračunu kombinacij in permutacij. N! pomeni N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Na primer 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Število načinov za naročanje nabora predmetov je faktorje. Vzemite tri črke a, b in c. Za prvo črko imate tri možnosti, dve za drugo in samo eno za tretjo. Z drugimi besedami, skupaj 3 × 2 × 1 = 6 naročil. Na splošno obstaja n! načini za naročanje n predmetov.
Permutacije s ponovitvijo
Recimo, da imate tri sobe, ki jih boste poslikali, in vsaka bo pobarvana v eno od petih barv: rdečo (r), zeleno (g), modro (b), rumeno (y) ali oranžno (o). Vsako barvo lahko izberete tolikokrat, kot želite. Na izbiro imate pet barv za prvo sobo, pet za drugo in pet za tretjo. To daje skupaj 5 × 5 × 5 = 125 možnosti. Na splošno je število načinov, kako izbrati n elementov v določenem vrstnem redu med n ponovljivimi izbirami, n ^ r.
Permutacije brez ponovitve
Zdaj pa predpostavimo, da bo vsaka soba drugačne barve. Izbirate lahko med petimi barvami za prvo sobo, štirimi za drugo in le tremi za tretjo. Tako dobimo 5 × 4 × 3 = 60, kar je ravno 5! / 2!. Na splošno je število neodvisnih načinov za izbiro r elementov v določenem vrstnem redu izmed n neponovljivih izbir n! / (N – r) !.
Kombinacije brez ponavljanja
Nato pozabite, katera soba je katere barve. Za barvno shemo izberite tri neodvisne barve. Tu vrstni red ni pomemben, zato je (rdeča, zelena, modra) enaka (rdeča, modra, zelena). Za katero koli izbiro treh barv obstajajo 3! načine, kako jih lahko naročite. Torej zmanjšate število permutacij za 3! da dobimo 5! / (2! × 3!) = 10. Na splošno lahko izberete skupino r elementov v poljubnem vrstnem redu izmed n-ih neponovljivih izbir na n! / [(N – r)! × r!] Načinov.
Kombinacije s ponavljanjem
Na koncu morate ustvariti barvno shemo, v kateri lahko poljubno barvo uporabite poljubno. Pametna knjigovodska koda pomaga pri tem štetju. Za prikaz prostorov uporabite tri X-je. Seznam barv predstavlja 'rgbyo'. Zmešajte X na svoj seznam barv in vsak X povežite s prvo barvo na levi strani. Na primer, rgXXbyXo pomeni, da je prva soba zelena, druga zelena in tretja rumena. X mora imeti vsaj eno barvo na levi, zato je na voljo pet rež za prvi X. Ker seznam zdaj vključuje X, je na voljo šest rež za drugi X in sedem razpoložljivih rež za tretje X. Vsega skupaj je 5 × 6 × 7 = 7! / 4! načine za pisanje kode. Vendar je vrstni red prostorov poljuben, zato je resnično le 7! / (4! × 3!) Unikatnih aranžmajev. Na splošno lahko izberete r postavk v poljubnem vrstnem redu med n ponovljivimi izbirami na (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!] Način.