Integriranje funkcij je ena glavnih aplikacij računa. Včasih je to preprosto, kot pri:
F (x) = \ int (x ^ 3 + 8) dx
V sorazmerno zapletenem primeru te vrste lahko uporabite različico osnovne formule za integracijo nedoločenih integralov:
\ int (x ^ n + A) dx = \ frac {x ^ {(n + 1)}} {n + 1} + Ax + C
kjeAinCso konstante.
Tako je za ta primer
\ int x ^ 3 + 8 = \ frac {x ^ 4} {4} + 8x + C
Integracija osnovnih funkcij kvadratnega korena
Na površini je integracija funkcije kvadratnega korena nerodna. Na primer, lahko vas zasmeši:
F (x) = \ int \ sqrt {(x ^ 3) + 2x - 7} dx
Lahko pa kvadratni koren izrazite kot eksponent 1/2:
\ sqrt {x ^ 3} = x ^ {3 (1/2)} = x ^ {(3/2)}
Integral torej postane:
\ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx
za katero lahko od zgoraj uporabite običajno formulo:
\ začetek {poravnano} \ int (x ^ {3/2} + 2x - 7) dx & = \ frac {x ^ {(5/2)}} {5/2} + 2 \ bigg (\ frac {x ^ 2} {2} \ bigg) - 7x \\ & = \ frac {2} {5} x ^ {(5/2)} + x ^ 2 - 7x \ konec {poravnano}
Integracija bolj zapletenih funkcij kvadratnega korena
Včasih imate morda več izrazov pod radikalnim znakom, kot v tem primeru:
F (x) = \ int \ frac {x + 1} {\ sqrt {x - 3}} dx
Lahko uporabišu-zamenjava za nadaljevanje. Tukaj ste nastaviliuenaka količini v imenovalcu:
u = \ sqrt {x - 3}
Reši to zaxs kvadratom obeh strani in odštevanjem:
u ^ 2 = x - 3 \\ x = u ^ 2 + 3
To vam omogoča, da dobite dx v smisluutako da vzamemo izpeljanko izx:
dx = (2u) du
Nadomeščanje nazaj v prvotni integral daje
\ začeti {poravnano} F (x) & = \ int \ frac {u ^ 2 + 3 + 1} {u} (2u) du \\ & = \ int \ frac {2u ^ 3 + 6u + 2u} {u } du \\ & = \ int (2u ^ 2 + 8) du \ end {poravnano}
Zdaj lahko to integrirate z uporabo osnovne formule in izražanjauv smislux:
\ začeti {poravnano} \ int (2u ^ 2 + 8) du & = \ frac {2} {3} u ^ 3 + 8u + C \\ & = \ frac {2} {3} (\ sqrt {x - 3}) ^ 3 + 8 (\ sqrt {x - 3}) + C \\ & = \ frac {2} {3} (x - 3) ^ {(3/2)} + 8 (x - 3) ^ {(1/2)} + C \ konec {poravnano}