Obvladovanje konceptov sinusa in kosinusa je sestavni del trigonometrije. Ko pa imate te ideje pod pasom, postanejo gradniki za druga uporabna orodja v trigonometriji in kasneje v računanju. Na primer, "zakon kosinusov" je posebna formula, s katero lahko poiščete manjkajočo stran trikotnika, če veste dolžino drugih dveh stranic plus kot med njimi ali za iskanje kotov trikotnika, ko poznate vse tri strani.
Zakon kosinusov
Zakon kosinusov je na voljo v več različicah, odvisno od kotov ali strani trikotnika, s katerim imate opravka:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab × \ cos (C)
V vsakem primerua, bincso stranice trikotnika inA, B, aliCje kot nasproti strani iste črke. TorejAje kot nasprotne strania, Bje kot nasprotne stranib, inCje kot nasprotne stranic. To je oblika enačbe, ki jo uporabljate, če najdete dolžino stranice trikotnika.
Zakon kosinusov lahko prepišemo tudi v različicah, ki olajšajo iskanje katerega koli od treh kotov trikotnika, ob predpostavki, da poznate dolžine vseh treh strani trikotnika:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Reševanje za stran
Če želite uporabiti zakon kosinusov za reševanje stranice trikotnika, potrebujete tri podatke: dolžini drugih dveh strani trikotnika in kotu med njimi. Izberite različico formule, kjer je stran, ki jo želite najti, na levi strani enačbe, informacije, ki jih že imate, pa na desni. Torej, če želite najti dolžino stranicea, bi uporabili različico
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A)
Vrednosti obeh znanih stranic in kot med njimi nadomestite v formulo. Če ima vaš trikotnik znane stranicebincki merijo 5 enot oziroma 6 enot, kot med njimi pa meri 60 stopinj (kar je lahko izraženo tudi v radianih kot π / 3), bi imeli:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
V tabeli ali kalkulatorju poiščite vrednost kosinusa; v tem primeru je cos (60) = 0,5, kar vam daje enačbo:
a ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Poenostavite rezultat 2. koraka. To vam omogoča:
a ^ 2 = 25 + 36 - 30
Kar pa poenostavi na:
a ^ 2 = 31
Vzemite kvadratni koren obeh strani, da končate reševanjea. To vam pušča:
a = \ sqrt {31}
Čeprav bi lahko z grafikonom ali kalkulatorjem ocenili vrednost 31 JPY (znaša 5,568), boste pogosto lahko - in celo spodbujeni - odgovor pustili v natančnejši radikalni obliki.
Reševanje za kot
Isti postopek lahko uporabite za iskanje katerega koli kota trikotnika, če poznate vse tri njegove stranice. Tokrat boste izbrali različico formule, ki postavi manjkajoči ali "ne vem" kot na levo stran znaka enakosti. Predstavljajte si, da želite najti mero kota C (ki je, ne pozabite, definiran kot kot na nasprotni stranic). Uporabili bi to različico formule:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
V enačbo nadomestite znane vrednosti - pri tej vrsti problema to pomeni dolžino vseh treh strani trikotnika. Kot primer naj bodo stranice vašega trikotnikaa= 3 enote,b= 4 enote inc= 25 enot. Torej vaša enačba postane:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Ko poenostavite nastalo enačbo, boste imeli:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
ali preprosto cos (C) = 0.
Izračunajte inverzni kosinus ali lok kosinus 0, ki je pogosto zapisan kot cos-1(0). Ali z drugimi besedami, kateri kot ima kosinus 0? V resnici obstajata dva kota, ki vrneta to vrednost: 90 stopinj in 270 stopinj. Toda po definiciji veste, da mora biti vsak kot v trikotniku manjši od 180 stopinj, tako da ostane možnost le 90 stopinj.
Mera vašega manjkajočega kota je torej 90 stopinj, kar pomeni, da imate opravka s pravokotnim trikotnikom, čeprav ta metoda deluje tudi z nepravičnimi trikotniki.