Tako kot v algebri boste tudi vi, ko se začnete učiti trigonometrijo, nabrali nabore formul, ki so koristne za reševanje problemov. Takšen niz so polkotne identitete, ki jih lahko uporabite za dva namena. Ena je pretvorba trigonometričnih funkcij (θ/ 2) v funkcije v smislu bolj znanih (in lažje manipuliranih)θ. Drugi je najti dejansko vrednost trigonometričnih funkcijθ, kdajθlahko izrazimo kot polovico bolj znanega kota.
Pregled polkotnih identitet
Številni matematični učbeniki bodo našteli štiri osnovne identitete polovičnega kota. Toda z uporabo mešanice algebre in trigonometrije lahko te enačbe masiramo v številne uporabne oblike. Ni nujno, da si jih vse zapomnite (razen če učitelj vztraja), vendar bi morali vsaj razumeti, kako jih uporabljati:
Polkotna identiteta za sinus
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Polkotna identiteta za kosinus
\ cos \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {2}}
Polkotne identitete za tangento
\ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {1 + \ cosθ}} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 + \ cosθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 - \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ tan \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ - \ cotθ
Polkotne identitete za kotangens
\ cot \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 + \ cosθ} {1 - \ cosθ}} \\ \, \\ \ cot \ bigg (\ frac { θ} {2} \ bigg) = \ frac {\ sinθ} {1 - \ cosθ} \\ \, \\ \ otroška postelja \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = \ frac {1 + \ cosθ} {\ sinθ} \\ \, \\ \ cot \ bigg ( \ frac {θ} {2} \ bigg) = \ cscθ + \ cotθ
Primer uporabe polkotnih identitet
Torej, kako uporabljate polkotne identitete? Prvi korak je prepoznati, da imate opravka s kotom, ki je polovica bolj znanega kota.
- Kvadrant I: vse trig funkcije
- Kvadrant II: samo sinus in kosekant
- Kvadrant III: samo tangenta in kotangens
- Kvadrant IV: samo kosinus in sekant
predstavljajte si, da morate najti sinus kota 15 stopinj. To ni eden od kotov, za katere si bo večina učencev zapomnila vrednosti trig-funkcij. Če pa pustite, da je 15 stopinj enako θ / 2 in nato rešite za θ, boste ugotovili, da:
\ frac {θ} {2} = 15 \\ θ = 30
Ker je dobljeni θ, 30 stopinj, bolj znan kot, nam bo tukaj v pomoč formula s polovičnim kotom.
Ker so vas prosili, da poiščete sinus, lahko izberete samo eno polkotno formulo:
\ sin \ bigg (\ frac {θ} {2} \ bigg) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cosθ} {2}}
Zamenjava vθ/ 2 = 15 stopinj inθ= 30 stopinj vam daje:
\ sin (15) = ± \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Če bi vas prosili, da poiščete tangens ali kotangens, ki oba na pol pomnožita načine izražanja svoje polkotne identitete, bi preprosto izbrali različico, ki je bila videti najlažje za delo.
Znak ± na začetku nekaterih polkotnih identitet pomeni, da je lahko zadevni koren pozitiven ali negativen. To dvoumnost lahko rešite tako, da uporabite svoje znanje o trigonometričnih funkcijah v kvadrantih. Tu je hiter povzetek, katere trig funkcije se vrnejopozitivnovrednosti, v katerih kvadranti:
Ker v tem primeru vaš kot θ predstavlja 30 stopinj, kar pade v kvadrant I, veste, da bo vrednost sinusa, ki jo vrne, pozitivna. Tako lahko spustite znak ± in preprosto ocenite:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ cos (30)} {2}}
Nadomestimo v znani, znani vrednosti cos (30). V tem primeru uporabite natančne vrednosti (v nasprotju z decimalnimi približki iz grafikona):
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {1 - \ sqrt {3/2}} {2}}
Nato poenostavite desno stran enačbe in poiščite vrednost za greh (15). Začnite tako, da izraz pod radikalom pomnožite z 2/2, kar vam da:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 (1 - \ sqrt {3/2})} {4}}
To poenostavi na:
\ sin (15) = \ sqrt {\ frac {2 - \ sqrt {3}} {4}}
Nato lahko odštejete kvadratni koren 4:
\ sin (15) = \ frac {1} {2} \ sqrt {2 - \ sqrt {3}}
V večini primerov je to približno toliko, kolikor bi poenostavili. Čeprav rezultat morda ni grozno lep, ste sinus neznanega kota prevedli v natančno količino.