Ste se kdaj vprašali, kako so trigonometrične funkcije, kot sta sinus in kosinus, povezane? Oba se uporabljata za izračun stranic in kotov v trikotnikih, toda razmerje gre dlje od tega.Kofunkcijske identitetedajte nam posebne formule, ki kažejo, kako pretvoriti med sinus in kosinus, tangento in kotangenso ter sekanso in kosekanso.
TL; DR (predolgo; Nisem prebral)
Sinus kota je enak kosinusu njegovega komplementa in obratno. To velja tudi za druge kofunkcije.
Enostaven način zapomnitve, katere funkcije so kofunkcije, je, da sta dve trig funkcijikofunkciječe ima eden od njih predpono "co-". Torej:
- sinus incosinusi socofunkcije.
- tangenta incotangenta socofunkcije.
- sekant incosekant socofunkcije.
Med kofunkcijami lahko izračunamo naprej in nazaj s pomočjo te definicije: Vrednost funkcije kota je enaka vrednosti kofunkcije komplementa.
To se sliši zapleteno, ampak namesto da bi govorili o vrednosti funkcije na splošno, uporabimo konkreten primer. Thesinuskota enakakosinusnjegovega dopolnila. In enako velja za druge kofunkcije: tangenta kota je enaka kotangensi njegovega komplementa.
Ne pozabite: Dva kota stadopolnilače seštejejo do 90 stopinj.
Identitete kofunkcije v stopinjah:
(Upoštevajte, da 90 ° -xnam daje kotno dopolnilo.)
\ sin (x) = \ cos (90 ° - x) \\ \ cos (x) = \ sin (90 ° - x) \\ \ tan (x) = \ otroška posteljica (90 ° - x) \\ \ otroška postelja (x) = \ tan (90 ° - x) \\ \ sec (x) = \ csc (90 ° - x) \\ \ csc (x) = \ sec (90 ° - x)
Identitete kofunkcije v radianih
Ne pozabite, da lahko stvari pišemo tudi v smisluradiani, ki je enota SI za merjenje kotov. Devetdeset stopinj je enako π / 2 radianov, zato lahko identitete kofunkcije napišemo takole:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ tan (x) = \ otroška postelja \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ otroška posteljica (x) = \ tan \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ sec (x) = \ csc \ bigg (\ frac { π} {2} - x \ bigg) \\ \, \\ \ csc (x) = \ sec \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Dokaz o identitetah funkcije
Vse to se sliši lepo, toda kako lahko dokažemo, da je to res? Če ga preizkusite sami na nekaj zgledih trikotnikov, vam lahko pomaga, da se počutite samozavestno, obstaja pa tudi strožji algebrski dokaz. Dokažimo identitete kofunkcij za sinus in kosinus. Delali bomo v radianih, vendar je enako kot pri uporabi stopinj.
Dokaz:
\ sin (x) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg)
Najprej pojdite v spomin do te formule, ker jo bomo uporabili kot dokaz:
\ cos (A - B) = \ cos (A) \ cos (B) + \ sin (A) \ sin (B)
Razumem? V REDU. Zdaj pa dokažimo: sin (x) = cos (π / 2 - x).
Prepišemo lahko cos (π / 2 -x) Všečkaj to:
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) + \ sin \ bigg (\ frac {π } {2} \ bigg) \ sin (x) \\ \, \\ \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = 0 × \ cos (x) + 1 × \ sin ( x)
ker vemo
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {in} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Torej
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) = \ sin (x)
Ta-da! Zdaj pa dokažimo s kosinusom!
Dokaz:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Še ena eksplozija iz preteklosti: Se spomnite te formule?
\ sin (A - B) = \ sin (A) \ cos (B) - \ cos (A) \ sin (B)
Kmalu ga bomo uporabili. Zdaj pa dokažimo:
\ cos (x) = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg)
Greh lahko prepišemo (π / 2 -x) Všečkaj to:
\ začetek {poravnano} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} -x \ bigg) & = \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ cos (x) - \ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) \ sin (x) \\ & = 1 × \ cos (x) - 0 × \ sin (x) \ konec {poravnano}
ker vemo
\ cos \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 0 \ text {in} \ sin \ bigg (\ frac {π} {2} \ bigg) = 1
Tako smo dobili
\ sin \ bigg (\ frac {π} {2} - x \ bigg) = \ cos (x)
Kalkulator za delovanje
Preizkusite nekaj primerov za samostojno delo s kofunkcijami. Če pa se vam zatakne, ima Math Celebrity kalkulator funkcij, ki prikazuje postopne rešitve težav s kofunkcijo.
Veselo računanje!