Poligon je katera koli zaprta dvodimenzionalna figura s 3 ali več ravnimi (ne ukrivljenimi) stranicami, 12-stranski mnogokotnik pa je znan kot dvanajstkotnik. Navaden dvanajstkotnik je tisti z enakimi stranicami in koti, zato je mogoče izpeljati formulo za izračun njegove površine. Nepravi dodekagon ima stranice različnih dolžin in različnih kotov. Primer je šestkraka zvezda. Ni enostavnega načina za izračun površine nepravilne 12-stranske figure, razen če jo slučajno narišete na grafu in lahko preberete koordinate vsake od točk. V nasprotnem primeru je najboljša strategija razdeliti sliko na pravilne oblike, za katere lahko izračunate površino.
Izračun površine pravilnega 12-stranskega mnogokotnika
Če želite izračunati površino običajnega dvanajstkotnika, morate najti njegovo središče, najboljši način za to pa je, da okrog njega prepišete krog, ki se samo dotakne vsake njegove točke. Središče kroga je središče dvanajstkotnika, razdalja od središča figure do vsakega od njegovih točk pa je preprosto polmer kroga (r). Vsaka od 12 strani slike je enake dolžine, zato to označite zs.
Potrebujete še eno meritev in to je dolžina pravokotne črte, narisane od sredine vsake strani do središča 12-stranske oblike. Ta vrstica je znana kot apotem. Označimo njegovo dolžino zm. Vsak odsek, ki ga tvorijo polmerne črte, deli na dva pravokotna trikotnika. Ne vešm, vendar ga lahko najdete s pomočjo pitagorejskega izreka.
12 polmerov črte delijo krog, ki ste ga prepisali okoli dvanajstkotnika, na 12 enakih odsekov, tako da je v središču slike kot, ki ga ima vsaka črta skupaj s tistim zraven, 30 stopinj. Vsak od 12 odsekov, ki jih tvorijo polmerne črte, je sestavljen iz para pravokotnih trikotnikov s hipotenuzorin en kot 15 stopinj. Stran, ki meji na kot, jem, tako da ga lahko najdete z r in sinusom kota.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {in reši za} m \\ m = r × \ sin (15)
Zdaj lahko najdete površino vsakega enakokrakega trikotnika, vpisanega v dvanajstkotnik, ker poznate dolžino osnove - ki jes- in višina,m. Površina vsakega trikotnika je
\ start {poravnano} \ text {območje} & = \ frac {1} {2} × \ text {osnova} × \ besedilo {višina} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ konec {poravnano}
Takšnih odsekov je 12, zato pomnožite z 12, da poiščete skupno površino pravilne 12-stranske oblike:
\ text {Območje navadnega dvanajstkotnika} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Iskanje območja nepravilnega dvanajstkotnika
Formule za iskanje območja nepravilnega dvanajstkotnika ni, saj dolžine stranic in kotov niso enake. Celo težko je natančno določiti središče. Najboljša strategija je razdeliti sliko na pravilne oblike, izračunati površino vsake in jih dodati.
Če je oblika narisana na grafu in poznate koordinate oglišč, obstaja formula, s katero lahko izračunate površino. Če vsaka točka (n) je opredeljeno z (xn, yn) in obidete sliko, tako da v smeri urnega kazalca ali v nasprotni smeri urnega kazalca dobite niz 12 točk, je območje:
\ text {Območje} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}