Matematické funkcie sú výkonnými nástrojmi pre obchod, inžinierstvo a vedy, pretože môžu pôsobiť ako miniatúrne modely javov reálneho sveta. Aby ste pochopili funkcie a vzťahy, musíte sa trochu zaoberať pojmami, ako sú množiny, usporiadané dvojice a vzťahy. Funkcia je zvláštny druh vzťahu, ktorý má iba jedenrhodnota pre danúXhodnotu. Existujú aj iné druhy vzťahov, ktoré vyzerajú ako funkcie, ale nespĺňajú striktnú definíciu jednej z nich.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Vzťah je skupina čísel usporiadaná do párov. Funkcia je zvláštny druh vzťahu, ktorý má iba jedenrhodnota pre danúXhodnotu.
Sady, objednané páry a vzťahy
Pri popise vzťahov a funkcií pomáha najskôr diskutovať o množinách a usporiadaných pároch. Stručne povedané, množina čísel je ich súbor, ktorý sa zvyčajne nachádza v zložených zátvorkách, ako napríklad {15,1, 2/3} alebo {0, .22}. Zvyčajne definujete množinu s pravidlom, ako sú párne čísla medzi 2 a 10 vrátane: {2,4,6,8,10}.
Sada môže mať ľubovoľný počet prvkov alebo vôbec žiadny, to znamená nulovú množinu {}. Usporiadaný pár je skupina dvoch čísel uzavretých v zátvorkách, napríklad (0,1) a (45, −2). Pre pohodlie môžete zavolať prvú hodnotu v usporiadanom páre na
Vzťahy a funkcie
Funkcia je vzťah, v ktorom je danýXhodnota má iba jednu zodpovedajúcurhodnotu. Možno si myslíte, že s objednanými pármiXmá iba jednurhodnotu tak či tak. V príklade vzťahu uvedeného vyššie si však uvedomte, že:Xhodnoty 1 a 2 majú vždy dve zodpovedajúcerhodnoty 0 a 5, respektíve 10 a 15. Tento vzťah nie je funkciou. Pravidlo dáva funkčnému vzťahu definitivitu, ktorá inak neexistuje, pokiaľ ide oXhodnoty. Môžete sa opýtať, kedyXje 1, čo jerhodnota? Pre vyššie uvedený vzťah nemá otázka jednoznačnú odpoveď; môže to byť 0, 5 alebo oboje.
Teraz preskúmajte príklad vzťahu, ktorý je skutočnou funkciou: {(0,1), (1,5), (2, 4), (3, 6)}. TheXhodnoty sa nikde neopakujú. Ako ďalší príklad sa pozrite na {(-1,0), (0,5), (1,5), (2,10), (3,10)}. Niektorérhodnoty sa opakujú, ale toto neporušuje pravidlo. Stále môžete povedať, že keď je hodnotaXje 0,rje určite 5.
Grafické funkcie: Test zvislej čiary
To, či je vzťah funkciou, zistíte tak, že čísla vynesiete do grafu a použijete test zvislej čiary. Ak ho žiadna vertikálna čiara prechádzajúca grafom nepretína vo viac ako jednom bode, vzťah je funkciou.
Funkcie ako rovnice
Vypísanie sady usporiadaných párov ako funkcia je jednoduchým príkladom, ale keď budete mať viac ako pár čísel, bude vás to veľmi nudiť. Na riešenie tohto problému matematici píšu funkcie v zmysle rovníc, ako napr
y = x ^ 2 - 2x + 3
Pomocou tejto kompaktnej rovnice môžete vygenerovať toľko usporiadaných párov, koľko chcete: Pripojte rôzne hodnoty preX, urob matematiku a vyjdi tvojrhodnoty.
Skutočné použitie funkcií
Mnoho funkcií slúži ako matematické modely, ktoré umožňujú ľuďom pochopiť podrobnosti o javoch, ktoré by inak zostali tajomné. Pre jednoduchý príklad, vzdialenostná rovnica pre padajúci objekt je
d = \ frac {1} {2} g t ^ 2
kdetje čas v sekundách agje gravitačné zrýchlenie. Pripojte 9,8 pre zemskú gravitáciu v metroch za sekundu na druhú a vzdialenosť, ktorú predmet klesol, nájdete kedykoľvek. Všimnite si, že pre svoju užitočnosť majú modely obmedzenia. Príkladová rovnica funguje dobre na zhodenie oceľovej gule, ale nie pierka, pretože vzduch pierko spomalí.